Номер 2.104, страница 57, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. 8. Наименьшее общее кратное натуральных чисел - номер 2.104, страница 57.

Условие.

2.104. Дроби n20 и с30, где n и с — натуральные числа, можно представить в виде десятичных. Могут ли числитель и знаменатель каждой из этих дробей быть взаимно простыми?

Решение 1.

2.104

$\frac{\mathrm{n}}{20}$– числитель и знаменатель могут быть взаимно простыми,

например, при n = 3

$\frac{\mathrm{с}}{30}$– числитель и знаменатель не могут быть взаимно простыми, т.к.

чтобы дробь можно было представить в виде десятичной, то числитель должен быть кратным 3, но знаменатель 30 – число, кратное 3, поэтому числитель и знаменатель имеют общее кратное 3, которое не равно 1.

Решение 2.

Чтобы обыкновенную дробь можно было представить в виде конечной десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель этой дроби после её сокращения не содержал никаких других простых множителей, кроме 2 и 5.

Рассмотрим дробь $\frac{n}{20}$.
Разложим её знаменатель на простые множители: $20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.
Знаменатель 20 содержит только простые множители 2 и 5. Это значит, что любая дробь со знаменателем 20 может быть представлена в виде конечной десятичной. Теперь проверим, могут ли числитель и знаменатель быть взаимно простыми. Два числа являются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Для того чтобы $НОД(n, 20) = 1$, число $n$ не должно иметь общих простых делителей с числом 20, то есть $n$ не должно делиться ни на 2, ни на 5. Такие натуральные числа $n$ существуют, например, $n=1$, $n=3$, $n=7$ и т.д.
Например, для дроби $\frac{3}{20}$ ($=0,15$) её числитель 3 и знаменатель 20 являются взаимно простыми числами.
Таким образом, для дроби $\frac{n}{20}$ числитель и знаменатель могут быть взаимно простыми.

Рассмотрим дробь $\frac{c}{30}$.
Разложим её знаменатель на простые множители: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
Знаменатель 30 содержит простой множитель 3. Для того чтобы дробь $\frac{c}{30}$ можно было представить в виде конечной десятичной, необходимо, чтобы после сокращения дроби множитель 3 в знаменателе исчез. Это возможно только в том случае, если числитель $c$ делится на 3.
Если числитель $c$ делится на 3, то и $c$, и знаменатель 30 имеют общий делитель, равный 3. Следовательно, их наибольший общий делитель $НОД(c, 30)$ не равен 1, а значит, они не являются взаимно простыми числами.
Таким образом, для дроби $\frac{c}{30}$ числитель и знаменатель не могут быть взаимно простыми при условии, что её можно представить в виде десятичной.

В задаче спрашивается, могут ли числитель и знаменатель каждой из этих дробей быть взаимно простыми. Поскольку для дроби $\frac{c}{30}$ это условие невыполнимо, то ответ на вопрос — нет.
Ответ: нет.

Решение 3.

Решение 4.