Номер 2.106, страница 57, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. 8. Наименьшее общее кратное натуральных чисел - номер 2.106, страница 57.

Условие.

2.106. 1) Какие числа могут быть взаимно простыми: а) два чётных числа; б) чётное и нечётное числа; в) два простых числа; г) простое и составное числа; д) два последовательных натуральных числа?

2) Какие числа всегда взаимно простые: а) два чётных числа; б) чётное и нечётное числа; в) два простых числа; г) простое и составное числа; д) два последовательных натуральных числа?

Решение 1.

2.106

1)

а) два четных числа не могут быть взаимно простыми, т.к. они их общим делителем будет число 2, а не только число 1.

б) четное и нечетное число могут быть взаимно простыми, например, числа 8 и 9 имеют только один общий делитель – число 1.

в) два простых числа всегда являются взаимно простыми, т.к. каждое из них имеет только 2 делителя – число 1 и само число, поэтому их общим делителем является число 1.

г) простое и составное число могут быть взаимно простыми, например, числа 5 и 6 – взаимно простые, т.к. имеют только один общий делитель – число 1.

д) два последовательных натуральных числа могут быть взаимно простыми, например, числа 6 и 7 – взаимно простые, их общий делитель равен 1.

2)

а) два четных числа не могут быть взаимно простыми

б) четное и нечетное число не всегда взаимно просты, например, 20 и 25 – не взаимно простые числа, т.к. они оба делятся на 5.

в) два простых числа всегда являются взаимно простыми, т.к. каждое из них имеет только 2 делителя – число 1 и само число, поэтому их общим делителем является число 1.

г) простое и составное число не всегда являются взаимно простыми, например, числа 5 и 15 – не являются взаимно простыми числами, т.к. они оба делятся на 5.

д) два последовательных натуральных числа всегда являются взаимно простыми

Решение 2.

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Проанализируем каждый случай.

1) Какие числа МОГУТ быть взаимно простыми:

а) два чётных числа
Любое чётное число по определению делится на 2. Следовательно, любые два чётных числа имеют общий делитель, как минимум, 2. Их наибольший общий делитель всегда будет больше или равен 2 ($НОД \ge 2$). Таким образом, два чётных числа никогда не могут быть взаимно простыми.
Ответ: Нет, не могут.

б) чётное и нечётное числа
Да, могут. Нужно найти хотя бы один пример. Возьмём чётное число 4 и нечётное число 9. Разложим их на простые множители: $4 = 2^2$ и $9 = 3^2$. У них нет общих простых множителей. Их наибольший общий делитель $НОД(4, 9) = 1$. Следовательно, чётное и нечётное числа могут быть взаимно простыми.
Ответ: Да, могут.

в) два простых числа
Да, могут. Если взять два различных простых числа, например, 5 и 11. У простого числа есть только два делителя: 1 и само число. Таким образом, у двух различных простых чисел единственным общим делителем будет 1. $НОД(5, 11) = 1$.
Ответ: Да, могут.

г) простое и составное числа
Да, могут. Это возможно, если составное число не делится на данное простое число. Например, возьмём простое число 7 и составное число 10. Разложение на множители: $10 = 2 \times 5$. Число 7 не является делителем числа 10. $НОД(7, 10) = 1$.
Ответ: Да, могут.

д) два последовательных натуральных числа
Да, могут. Более того, они всегда взаимно просты. Например, $НОД(8, 9) = 1$. Если предположить, что два последовательных числа $n$ и $n+1$ имеют общий делитель $d > 1$, то на $d$ должно делиться и их разность: $(n+1) - n = 1$. Но единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1. Значит, $d=1$. Это доказывает, что любые два последовательных натуральных числа взаимно просты. Раз они всегда взаимно просты, значит, они и "могут быть" взаимно простыми.
Ответ: Да, могут.

---

2) Какие числа ВСЕГДА взаимно простые:

а) два чётных числа
Как было показано в пункте 1(а), любые два чётных числа имеют общий делитель 2, поэтому их НОД всегда больше 1. Они никогда не бывают взаимно простыми.
Ответ: Нет, не всегда.

б) чётное и нечётное числа
Нет, не всегда. Достаточно привести один контрпример. Возьмём чётное число 6 и нечётное число 9. $НОД(6, 9) = 3$, так как оба числа делятся на 3. Поскольку НОД не равен 1, эти числа не являются взаимно простыми.
Ответ: Нет, не всегда.

в) два простых числа
Нет, не всегда. Если простые числа различны (например, 3 и 5), они взаимно просты. Однако, если взять два одинаковых простых числа (например, 7 и 7), то их наибольший общий делитель равен самому этому числу: $НОД(7, 7) = 7$. Так как НОД не равен 1, они не взаимно просты. Вопрос не уточняет, что числа должны быть различными.
Ответ: Нет, не всегда.

г) простое и составное числа
Нет, не всегда. Если составное число делится на данное простое число, они не будут взаимно простыми. Например, простое число 3 и составное число 6. Поскольку $6 = 2 \times 3$, оба числа делятся на 3, и $НОД(3, 6) = 3$.
Ответ: Нет, не всегда.

д) два последовательных натуральных числа
Да, всегда. Как было доказано в пункте 1(д), наибольший общий делитель двух последовательных натуральных чисел $n$ и $n+1$ всегда равен 1. Пусть $d$ — их общий делитель. Тогда $d$ делит $n$ и $d$ делит $n+1$. Следовательно, $d$ делит их разность $(n+1) - n = 1$. Единственный положительный делитель 1 — это 1. Значит, $НОД(n, n+1) = 1$ для любых последовательных натуральных чисел.
Ответ: Да, всегда.

Решение 3.

Решение 4.