Вопросы в параграфе, страница 56, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

8. Наименьшее общее кратное натуральных чисел. § 2. Действия со смешенными числами. ч. 1 - страница 56.

Вопросы:

Что такое наименьшее общее кратное натуральных чисел?

Какое число является наименьшим общим кратным чисел 3, 9, 27?

Расскажите алгоритм нахождения наименьшего общего кратного нескольких чисел.

Вопросы к параграфу

• наименьшим общим кратным (НОК) нескольких натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка

• наименьшим общим кратным чисел 3, 9 и 27 является число 27, т.к. оно делится на все числа без остатка

• чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
  1) разложить числа на простые множители
  2) выписать множители из разложения большего из чисел
  3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел
  4) найти произведение этих множителей

Что такое наименьшее общее кратное натуральных чисел?

Наименьшее общее кратное (сокращенно НОК) нескольких натуральных чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. То есть это наименьшее число, которое находится в ряду кратных для каждого из заданных чисел.

Например, для чисел 6 и 8:
Кратные числа 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...
Кратные числа 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...
Общими кратными являются числа 24, 48 и так далее. Наименьшее из них — 24. Значит, НОК(6, 8) = 24.

Ответ: Наименьшее общее кратное натуральных чисел — это наименьшее натуральное число, которое является кратным каждому из данных чисел.

Какое число является наименьшим общим кратным чисел 3, 9, 27?

Для нахождения наименьшего общего кратного чисел 3, 9 и 27 воспользуемся определением. Нам нужно найти наименьшее число, которое делится и на 3, и на 9, и на 27.

В этом случае можно заметить, что число 27 делится на 9 ($27 \div 9 = 3$) и делится на 3 ($27 \div 3 = 9$). Так как 27 делится на все три заданных числа (включая само себя) и является наибольшим из них, оно и будет наименьшим общим кратным. Любое число, меньшее 27, очевидно, не может делиться на 27.

Таким образом, НОК(3, 9, 27) = 27.

Ответ: 27.

Расскажите алгоритм нахождения наименьшего общего кратного нескольких чисел.

Наиболее универсальный алгоритм нахождения наименьшего общего кратного (НОК) нескольких чисел основан на разложении этих чисел на простые множители. Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Разложить каждое из данных чисел на простые множители.
2. Выписать все простые множители, которые встречаются хотя бы в одном из разложений.
3. Для каждого из этих простых множителей выбрать наибольший показатель степени, с которым он встречается в разложениях.
4. Перемножить эти множители в выбранных степенях. Полученное произведение является НОК данных чисел.

Пример: Найдем НОК для чисел 12, 15 и 20.
Шаг 1: Разложим числа на простые множители.
$12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^1$
$15 = 3 \cdot 5 = 3^1 \cdot 5^1$
$20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^1$
Шаг 2: Простые множители, которые встречаются в разложениях: 2, 3, 5.
Шаг 3: Выберем наибольшие степени для каждого множителя.
- Для множителя 2 наибольшая степень — 2 (встречается в разложении чисел 12 и 20). Берем $2^2$.
- Для множителя 3 наибольшая степень — 1 (встречается в разложении чисел 12 и 15). Берем $3^1$.
- Для множителя 5 наибольшая степень — 1 (встречается в разложении чисел 15 и 20). Берем $5^1$.
Шаг 4: Перемножим полученные степени.
$НОК(12, 15, 20) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Ответ: Чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно разложить их на простые множители, а затем найти произведение всех встречающихся простых множителей, взяв каждый из них с наибольшим показателем степени, который присутствует в разложениях.