Номер 1, страница 54, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. Проверьте себя - номер 1, страница 54.

Условие.

1. Какие из данных чисел являются взаимно простыми:

а) 12 и 15;
б) 29 и 34;
в) 25 и 30;
г) 72 и 73?

Решение 1.

Проверочная работа

1.

а)

$$\begin{gathered} 12 = 2 · 2 · 3 \\ 15 = 3 · 5 \end{gathered}$$

НОД (12;15) = 3 - не являются взаимно простыми

б)

$$\begin{gathered} 29 = 29 \\ 34 = 2 · 17 \end{gathered}$$

НОД (29; 34) = 1 - являются взаимно простыми

в)

$$\begin{gathered} 25 = 5 · 5 \\ 30 = 2 · 3 · 5 \end{gathered}$$

НОД (25; 30) = 5 - не являются взаимно простыми

г)

$$\begin{gathered} 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 \\ 73 = 73 \end{gathered}$$

НОД (72; 73) = 1- являются взаимно простыми

Решение 2.

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Другими словами, у этих чисел нет общих простых делителей, кроме единицы. Чтобы определить, является ли пара чисел взаимно простой, нужно найти их НОД.

а) 12 и 15;
Для нахождения НОД чисел 12 и 15 разложим их на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$15 = 3 \cdot 5$
Как видно из разложения, у чисел 12 и 15 есть общий простой множитель — 3. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 3: НОД(12, 15) = 3. Поскольку НОД не равен 1, эти числа не являются взаимно простыми.
Ответ: не являются взаимно простыми.

б) 29 и 34;
Разложим на простые множители числа 29 и 34.
Число 29 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя.
Разложение числа 34:
$34 = 2 \cdot 17$
Сравнив множители, мы видим, что у чисел 29 и 34 нет общих простых множителей. Значит, их наибольший общий делитель равен 1: НОД(29, 34) = 1. Следовательно, числа 29 и 34 являются взаимно простыми.
Ответ: являются взаимно простыми.

в) 25 и 30;
Разложим на простые множители числа 25 и 30:
$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
Общий простой множитель для этих чисел — 5. Их наибольший общий делитель равен 5: НОД(25, 30) = 5. Так как НОД не равен 1, эти числа не являются взаимно простыми.
Ответ: не являются взаимно простыми.

г) 72 и 73?
Числа 72 и 73 являются последовательными натуральными числами. Существует свойство, согласно которому любые два последовательных натуральных числа всегда взаимно просты. Это объясняется тем, что их разность равна 1 ($73 - 72 = 1$). Любой их общий делитель должен также делить и их разность, то есть 1. Единственным натуральным числом, которое делит 1, является само число 1. Таким образом, НОД(72, 73) = 1. Следовательно, числа 72 и 73 являются взаимно простыми.
Ответ: являются взаимно простыми.

Решение 3.

Решение 4.