Номер 2.192, страница 69, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. 10. Сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей - номер 2.192, страница 69.

Условие.

2.192. Сравните дроби:

а) 23 и 821; б) 415 и 25; в) 38 и 1740; г) 56 и 3136; д) 16 и 421; е) 1318 и 1115; ж) 17125 и 23165; з) 1977 и 43176.

Решение 1.

2.192

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \frac{2}{3} \mathrm{и} \frac{8}{21} \\ \mathrm{НОК} ( 3;21) = 21 \\ \frac{2}{3}=\frac{2 · 7}{3 · 7}=\frac{14}{21} \end{gathered}$$

т.к. $\frac{14}{21}>\frac{8}{21},$ то $\frac{2}{3}>\frac{8}{21}$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \frac{4}{15} \mathrm{и} \frac{2}{5} \\ \mathrm{НОК} (15; 5) = 15 \\ \frac{2}{5}=\frac{2 · 3}{5 · 3}=\frac{6}{15} \end{gathered}$$

т.к. $\frac{4}{15}<\frac{6}{15},$то $\frac{4}{15} < \frac{2}{5}$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{8} \mathrm{и} \frac{17}{40} \\ \mathrm{НОК} (8; 40) = 40 \\ \frac{3}{8}=\frac{3 · 5}{8 · 5}=\frac{15}{40} \end{gathered}$$

т.к. $\frac{15}{40}<\frac{17}{40},$то $\frac{3}{8} < \frac{17}{40}$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{6} \mathrm{и} \frac{31}{36} \\ \mathrm{НОК} (6; 36) = 36 \\ \frac{5}{6}=\frac{5 · 6}{6 · 6}=\frac{30}{36} \end{gathered}$$

т.к. $\frac{30}{36}<\frac{31}{36},$то $\frac{5}{6} < \frac{31}{36}$

$\mathbf{д}\mathbf{)} \frac{1}{6} \mathrm{и} \frac{4}{21}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК} (6; 21) = 3· 7 · 2 = 42 \\ \frac{1}{6}=\frac{1 · 7}{6 · 7}=\frac{7}{42} \\ \frac{4}{21}=\frac{4 · 2}{21 · 2}=\frac{8}{42} \end{gathered}$$

т.к. $\frac{7}{42}<\frac{8}{42},$ то $\frac{1}{6} < \frac{4}{21}$

$\mathbf{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{13}{18} \mathrm{и} \frac{11}{15}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК}(18; 15) = 2 · 3 · 3 · 5 = 90 \\ \frac{13}{18}=\frac{13 · 5}{18 · 5}=\frac{65}{90} \\ \frac{11}{15}=\frac{11 · 6}{15 · 6}=\frac{66}{90} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{65}{90}<\frac{66}{90}, \mathrm{то} \frac{13}{18}<\frac{11}{15} \end{gathered}$$

$\mathbf{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{17}{125} \mathrm{и} \frac{23}{165}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК} (125; 165) = 3 · 5 · 11 · 5 · 5 = 4125 \\ \frac{17}{125}=\frac{17 · 33}{125 · 33}=\frac{561}{4125} \\ \frac{23}{165}=\frac{23 · 25}{165 ·25}=\frac{575}{4125} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{561}{4125}<\frac{575}{4125}, \mathrm{то}\frac{17}{125}<\frac{23}{165} \end{gathered}$$

$\mathbf{з}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{19}{77} \mathrm{и} \frac{43}{176}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК}( 77; 176) = 2 · 2 · 2 · 2 · 11· 7 = 1232 \\ \frac{19}{77}=\frac{19 · 16}{77 · 16}=\frac{304}{1232} \\ \frac{43}{176}=\frac{43 · 7}{176 · 7}=\frac{301}{1232} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{304}{1232} >\frac{301}{1232}, \mathrm{то} \frac{19}{77}>\frac{43}{176} \end{gathered}$$

Решение 2.

а) Сравнить дроби $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{8}{21} $.
Чтобы сравнить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 21 — это 21.
Приведем дробь $ \frac{2}{3} $ к знаменателю 21. Для этого умножим числитель и знаменатель на 7:
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21} $
Теперь сравним полученную дробь с $ \frac{8}{21} $. Поскольку знаменатели равны, сравниваем числители:
$ 14 > 8 $, следовательно, $ \frac{14}{21} > \frac{8}{21} $.
Это означает, что $ \frac{2}{3} > \frac{8}{21} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} > \frac{8}{21} $.

б) Сравнить дроби $ \frac{4}{15} $ и $ \frac{2}{5} $.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 5 — это 15.
Приведем дробь $ \frac{2}{5} $ к знаменателю 15. Умножим числитель и знаменатель на 3:
$ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15} $
Теперь сравним дроби $ \frac{4}{15} $ и $ \frac{6}{15} $. Сравниваем числители:
$ 4 < 6 $, следовательно, $ \frac{4}{15} < \frac{6}{15} $.
Это означает, что $ \frac{4}{15} < \frac{2}{5} $.
Ответ: $ \frac{4}{15} < \frac{2}{5} $.

в) Сравнить дроби $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{17}{40} $.
Наименьший общий знаменатель для 8 и 40 — это 40.
Приведем дробь $ \frac{3}{8} $ к знаменателю 40. Умножим числитель и знаменатель на 5:
$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40} $
Сравним дроби $ \frac{15}{40} $ и $ \frac{17}{40} $. Сравниваем числители:
$ 15 < 17 $, следовательно, $ \frac{15}{40} < \frac{17}{40} $.
Это означает, что $ \frac{3}{8} < \frac{17}{40} $.
Ответ: $ \frac{3}{8} < \frac{17}{40} $.

г) Сравнить дроби $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{31}{36} $.
Наименьший общий знаменатель для 6 и 36 — это 36.
Приведем дробь $ \frac{5}{6} $ к знаменателю 36. Умножим числитель и знаменатель на 6:
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{30}{36} $
Сравним дроби $ \frac{30}{36} $ и $ \frac{31}{36} $. Сравниваем числители:
$ 30 < 31 $, следовательно, $ \frac{30}{36} < \frac{31}{36} $.
Это означает, что $ \frac{5}{6} < \frac{31}{36} $.
Ответ: $ \frac{5}{6} < \frac{31}{36} $.

д) Сравнить дроби $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{4}{21} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для 6 и 21. Разложим их на простые множители: $ 6 = 2 \cdot 3 $, $ 21 = 3 \cdot 7 $.
Наименьшее общее кратное (НОК) будет $ 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42 $.
Приведем дроби к знаменателю 42:
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{7}{42} $
$ \frac{4}{21} = \frac{4 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{8}{42} $
Сравниваем числители: $ 7 < 8 $, следовательно, $ \frac{7}{42} < \frac{8}{42} $.
Это означает, что $ \frac{1}{6} < \frac{4}{21} $.
Ответ: $ \frac{1}{6} < \frac{4}{21} $.

е) Сравнить дроби $ \frac{13}{18} $ и $ \frac{11}{15} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для 18 и 15. Разложим их на простые множители: $ 18 = 2 \cdot 3^2 $, $ 15 = 3 \cdot 5 $.
НОК(18, 15) = $ 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 90 $.
Приведем дроби к знаменателю 90:
$ \frac{13}{18} = \frac{13 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{65}{90} $
$ \frac{11}{15} = \frac{11 \cdot 6}{15 \cdot 6} = \frac{66}{90} $
Сравниваем числители: $ 65 < 66 $, следовательно, $ \frac{65}{90} < \frac{66}{90} $.
Это означает, что $ \frac{13}{18} < \frac{11}{15} $.
Ответ: $ \frac{13}{18} < \frac{11}{15} $.

ж) Сравнить дроби $ \frac{17}{125} $ и $ \frac{23}{165} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для 125 и 165. Разложим их на простые множители: $ 125 = 5^3 $, $ 165 = 3 \cdot 5 \cdot 11 $.
НОК(125, 165) = $ 3 \cdot 5^3 \cdot 11 = 3 \cdot 125 \cdot 11 = 4125 $.
Приведем дроби к знаменателю 4125:
$ \frac{17}{125} = \frac{17 \cdot (4125/125)}{4125} = \frac{17 \cdot 33}{4125} = \frac{561}{4125} $
$ \frac{23}{165} = \frac{23 \cdot (4125/165)}{4125} = \frac{23 \cdot 25}{4125} = \frac{575}{4125} $
Сравниваем числители: $ 561 < 575 $, следовательно, $ \frac{561}{4125} < \frac{575}{4125} $.
Это означает, что $ \frac{17}{125} < \frac{23}{165} $.
Ответ: $ \frac{17}{125} < \frac{23}{165} $.

з) Сравнить дроби $ \frac{19}{77} $ и $ \frac{43}{176} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для 77 и 176. Разложим их на простые множители: $ 77 = 7 \cdot 11 $, $ 176 = 16 \cdot 11 = 2^4 \cdot 11 $.
НОК(77, 176) = $ 2^4 \cdot 7 \cdot 11 = 16 \cdot 7 \cdot 11 = 1232 $.
Приведем дроби к знаменателю 1232:
$ \frac{19}{77} = \frac{19 \cdot (1232/77)}{1232} = \frac{19 \cdot 16}{1232} = \frac{304}{1232} $
$ \frac{43}{176} = \frac{43 \cdot (1232/176)}{1232} = \frac{43 \cdot 7}{1232} = \frac{301}{1232} $
Сравниваем числители: $ 304 > 301 $, следовательно, $ \frac{304}{1232} > \frac{301}{1232} $.
Это означает, что $ \frac{19}{77} > \frac{43}{176} $.
Ответ: $ \frac{19}{77} > \frac{43}{176} $.

Решение 3.

Решение 4.