Номер 2.193, страница 69, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. 10. Сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей - номер 2.193, страница 69.

Условие.

2.193. Выполните действие:

а) 15 + 17; б) 13 + 27; в) 35 + 56; г) 89 – 25; д) 512 + 16; е) 35 – 415; ж) 1921 - 1115; з) 542 + 1063; и) 1121 + 226; к) 524 – 760.

В примерах г) и е) выполненное вычитание проверьте сложением, в примерах ж) и к) — вычитанием.

Решение 1.

2.193

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{1}{5}}^{\overline{)·7}}+{\frac{1}{7}}^{\overline{)·5}}=\frac{1 · 7}{5 · 7}+\frac{1 · 5}{7 · 5}=\frac{7}{35}+\frac{5}{35}=\frac{12}{35}$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{1}{3}}^{\overline{)·7}}+{\frac{2}{7}}^{\overline{)·3}}=\frac{7}{21}+\frac{6}{21}=\frac{13}{21}$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{5}}^{\overline{)·6}}+{\frac{5}{6}}^{\overline{)·5}}=\frac{18}{30}+\frac{25}{30}=\frac{43}{30}=1\frac{13}{30}$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{8}{9}}^{\overline{)·5}}-{\frac{2}{5}}^{\overline{)·9}}=\frac{40}{45}-\frac{18}{45}=\frac{22}{45}$

проверка: $\frac{22}{45 }+{\frac{2}{5}}^{\overline{)·9}}=\frac{22}{45 }+\frac{18}{45}=\frac{40}{45}=\frac{8}{9}$

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{12}+{\frac{1}{6}}^{\overline{)·2}}=\frac{5}{12}+\frac{2}{12}=\frac{7}{12}$

$\mathbf{е}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{5}}^{\overline{)·3}}-\frac{4}{15}=\frac{9}{15}-\frac{4}{15}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}}=\frac{1}{3}$

проверка: ${\frac{1}{3}}^{\overline{)·5}}+\frac{4}{15}=\frac{5}{15}+\frac{4}{15}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$

$\mathbf{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{19}{21}}^{\overline{)·5}}-{\frac{11}{15}}^{\overline{)·7}}=\frac{95}{105}-\frac{77}{105}=\frac{{\displaystyle \stackrel{6}{\cancel{18}}}}{{\displaystyle \underset{35}{\cancel{105}}}}=\frac{6}{35}$

проверка: ${\frac{19}{21}}^{\overline{)·5}}-{\frac{6}{35}}^{\overline{)·3}}=\frac{95}{105}-\frac{18}{105}=\frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{77}}}}{{\displaystyle \underset{15}{\cancel{105}}}}=\frac{11}{15}$

$\mathbf{з}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{5}{42}}^{\overline{)·3}}+{\frac{10}{63}}^{\overline{)·2}}=\frac{15}{126}+\frac{20}{126}=\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{35}}}}{{\displaystyle \underset{18}{\cancel{126}}}}=\frac{5}{18}$

$\mathbf{и}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{11}{21}}^{\overline{)·26}}+{\frac{2}{26}}^{\overline{)·21}}=\frac{286}{546}+\frac{42}{546}=\frac{{\displaystyle \stackrel{164}{\cancel{328}}}}{{\displaystyle \underset{273}{\cancel{546}}}}=\frac{164}{273}$

$\mathbf{к}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{5}{24}}^{\overline{)·5}}-{\frac{7}{60}}^{\overline{)·2}}=\frac{25}{120}-\frac{14}{120}=\frac{11}{120}$

проверка: ${\frac{5}{24}}^{\overline{)·5}}-\frac{11}{120}=\frac{25}{120}-\frac{11}{120}=\frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{14}}}}{{\displaystyle \underset{60}{\cancel{120}}}}=\frac{7}{60}$

Решение 2.

а) Чтобы сложить дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{7}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5 и 7 — это их произведение, так как они являются взаимно простыми числами: $5 \times 7 = 35$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $35 \div 5 = 7$, а для второй — $35 \div 7 = 5$. Умножим числители на их дополнительные множители и сложим полученные дроби: $\frac{1}{5} + \frac{1}{7} = \frac{1 \times 7}{5 \times 7} + \frac{1 \times 5}{7 \times 5} = \frac{7}{35} + \frac{5}{35} = \frac{7+5}{35} = \frac{12}{35}$.
Ответ: $\frac{12}{35}$

б) Для сложения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{7}$ найдем их наименьший общий знаменатель. Так как 3 и 7 — взаимно простые числа, их наименьший общий знаменатель равен $3 \times 7 = 21$. Дополнительный множитель для дроби $\frac{1}{3}$ равен $21 \div 3 = 7$, а для дроби $\frac{2}{7}$ — $21 \div 7 = 3$. Выполним сложение: $\frac{1}{3} + \frac{2}{7} = \frac{1 \times 7}{3 \times 7} + \frac{2 \times 3}{7 \times 3} = \frac{7}{21} + \frac{6}{21} = \frac{7+6}{21} = \frac{13}{21}$.
Ответ: $\frac{13}{21}$

в) Чтобы сложить дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{6}$, найдем наименьший общий знаменатель для 5 и 6. Он равен $5 \times 6 = 30$. Дополнительный множитель для первой дроби — $30 \div 5 = 6$, для второй — $30 \div 6 = 5$. Выполним сложение: $\frac{3 \times 6}{5 \times 6} + \frac{5 \times 5}{6 \times 5} = \frac{18}{30} + \frac{25}{30} = \frac{18+25}{30} = \frac{43}{30}$. Так как полученная дробь является неправильной (числитель больше знаменателя), выделим целую часть: $43 \div 30 = 1$ (остаток $13$). Значит, $\frac{43}{30} = 1\frac{13}{30}$.
Ответ: $1\frac{13}{30}$

г) Для вычитания дроби $\frac{2}{5}$ из дроби $\frac{8}{9}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 5 равен $9 \times 5 = 45$. Дополнительный множитель для $\frac{8}{9}$ — 5, для $\frac{2}{5}$ — 9. $\frac{8}{9} - \frac{2}{5} = \frac{8 \times 5}{9 \times 5} - \frac{2 \times 9}{5 \times 9} = \frac{40}{45} - \frac{18}{45} = \frac{40-18}{45} = \frac{22}{45}$.
Проверка сложением: К полученной разности прибавим вычитаемое. Если результат равен уменьшаемому, вычитание выполнено верно. $\frac{22}{45} + \frac{2}{5} = \frac{22}{45} + \frac{2 \times 9}{5 \times 9} = \frac{22}{45} + \frac{18}{45} = \frac{22+18}{45} = \frac{40}{45}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: $\frac{40 \div 5}{45 \div 5} = \frac{8}{9}$. Проверка верна.
Ответ: $\frac{22}{45}$

д) Чтобы сложить дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{1}{6}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 6 равен 12. Дополнительный множитель для второй дроби равен $12 \div 6 = 2$. $\frac{5}{12} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12} + \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{5}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5+2}{12} = \frac{7}{12}$.
Ответ: $\frac{7}{12}$

е) Для вычитания дроби $\frac{4}{15}$ из дроби $\frac{3}{5}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 15 равен 15. Дополнительный множитель для первой дроби равен $15 \div 5 = 3$. $\frac{3}{5} - \frac{4}{15} = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} - \frac{4}{15} = \frac{9}{15} - \frac{4}{15} = \frac{9-4}{15} = \frac{5}{15}$. Сократим полученную дробь на 5: $\frac{5 \div 5}{15 \div 5} = \frac{1}{3}$.
Проверка сложением: $\frac{1}{3} + \frac{4}{15} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} + \frac{4}{15} = \frac{5}{15} + \frac{4}{15} = \frac{5+4}{15} = \frac{9}{15}$. Сократим дробь на 3: $\frac{9 \div 3}{15 \div 3} = \frac{3}{5}$. Проверка верна.
Ответ: $\frac{1}{3}$

ж) Выполним вычитание $\frac{19}{21} - \frac{11}{15}$. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для 21 и 15. Разложим знаменатели на простые множители: $21 = 3 \times 7$, $15 = 3 \times 5$. НОЗ$(21, 15) = 3 \times 5 \times 7 = 105$. Дополнительные множители: для $\frac{19}{21}$ — $105 \div 21 = 5$, для $\frac{11}{15}$ — $105 \div 15 = 7$. $\frac{19 \times 5}{105} - \frac{11 \times 7}{105} = \frac{95}{105} - \frac{77}{105} = \frac{95-77}{105} = \frac{18}{105}$. Сократим дробь на 3: $\frac{18 \div 3}{105 \div 3} = \frac{6}{35}$.
Проверка вычитанием: Из уменьшаемого вычтем полученную разность. Результат должен быть равен вычитаемому. $\frac{19}{21} - \frac{6}{35}$. НОЗ$(21, 35) = 105$. $\frac{19 \times 5}{105} - \frac{6 \times 3}{105} = \frac{95}{105} - \frac{18}{105} = \frac{77}{105}$. Сократим дробь на 7: $\frac{77 \div 7}{105 \div 7} = \frac{11}{15}$. Проверка верна.
Ответ: $\frac{6}{35}$

з) Складываем $\frac{5}{42} + \frac{10}{63}$. Найдем НОЗ для 42 и 63. $42 = 2 \times 3 \times 7$, $63 = 3^2 \times 7$. НОЗ$(42, 63) = 2 \times 3^2 \times 7 = 126$. Дополнительные множители: для $\frac{5}{42}$ — $126 \div 42 = 3$, для $\frac{10}{63}$ — $126 \div 63 = 2$. $\frac{5 \times 3}{126} + \frac{10 \times 2}{126} = \frac{15}{126} + \frac{20}{126} = \frac{15+20}{126} = \frac{35}{126}$. Сократим дробь на 7: $\frac{35 \div 7}{126 \div 7} = \frac{5}{18}$.
Ответ: $\frac{5}{18}$

и) Складываем $\frac{11}{21} + \frac{2}{26}$. Сначала сократим вторую дробь: $\frac{2 \div 2}{26 \div 2} = \frac{1}{13}$. Теперь необходимо сложить $\frac{11}{21} + \frac{1}{13}$. Знаменатели 21 и 13 взаимно простые, поэтому НОЗ равен их произведению: $21 \times 13 = 273$. Дополнительные множители: для $\frac{11}{21}$ — 13, для $\frac{1}{13}$ — 21. $\frac{11 \times 13}{273} + \frac{1 \times 21}{273} = \frac{143}{273} + \frac{21}{273} = \frac{143+21}{273} = \frac{164}{273}$.
Ответ: $\frac{164}{273}$

к) Выполним вычитание $\frac{5}{24} - \frac{7}{60}$. Найдем НОЗ для 24 и 60. $24 = 2^3 \times 3$, $60 = 2^2 \times 3 \times 5$. НОЗ$(24, 60) = 2^3 \times 3 \times 5 = 120$. Дополнительные множители: для $\frac{5}{24}$ — $120 \div 24 = 5$, для $\frac{7}{60}$ — $120 \div 60 = 2$. $\frac{5 \times 5}{120} - \frac{7 \times 2}{120} = \frac{25}{120} - \frac{14}{120} = \frac{25-14}{120} = \frac{11}{120}$.
Проверка вычитанием: $\frac{5}{24} - \frac{11}{120}$. Общий знаменатель 120. $\frac{5 \times 5}{24 \times 5} - \frac{11}{120} = \frac{25}{120} - \frac{11}{120} = \frac{25-11}{120} = \frac{14}{120}$. Сократим дробь на 2: $\frac{14 \div 2}{120 \div 2} = \frac{7}{60}$. Проверка верна.
Ответ: $\frac{11}{120}$

Решение 3.

Решение 4.