Номер 2.57, страница 51, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

7. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. § 2. Действия со смешенными числами. ч. 1 - номер 2.57, страница 51.

2.57. Найдите все общие делители чисел:

а) 20 и 70; б) 36, 48 и 144; в) 22 и 105.

2.57

а) 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20

70: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70

б) 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

144: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 36, 48, 72, 144

в) 22: 1, 2, 11, 22

105: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105

а) 20 и 70

Чтобы найти все общие делители двух чисел, нужно найти их наибольший общий делитель (НОД), а затем найти все делители этого НОД. Все делители НОД и будут являться всеми общими делителями исходных чисел.

1. Сначала разложим числа 20 и 70 на простые множители:

$20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$

$70 = 7 \cdot 10 = 2 \cdot 5 \cdot 7$

2. Теперь найдем НОД(20, 70). Для этого возьмем общие для обоих разложений простые множители в наименьшей степени, в которой они встречаются.

Общие множители: 2 и 5.

Наименьшая степень для 2 это $2^1$.

Наименьшая степень для 5 это $5^1$.

НОД(20, 70) = $2 \cdot 5 = 10$

3. Наконец, найдем все делители числа 10. Это и будут все общие делители чисел 20 и 70.

Делители числа 10: 1, 2, 5, 10.

Ответ: 1, 2, 5, 10.

б) 36, 48 и 144

Применим тот же алгоритм для трех чисел.

1. Разложим числа 36, 48 и 144 на простые множители:

$36 = 6 \cdot 6 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$

$48 = 6 \cdot 8 = 2 \cdot 3 \cdot 2^3 = 2^4 \cdot 3$

$144 = 12 \cdot 12 = (4 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 3) = (2^2 \cdot 3) \cdot (2^2 \cdot 3) = 2^4 \cdot 3^2$

2. Найдем НОД(36, 48, 144), выбрав общие простые множители в наименьшей степени из всех трех разложений.

Общий множитель 2 встречается в степенях 2, 4, 4. Наименьшая степень – 2.

Общий множитель 3 встречается в степенях 2, 1, 2. Наименьшая степень – 1.

НОД(36, 48, 144) = $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$

3. Найдем все делители числа 12.

Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

в) 22 и 105

Снова следуем тому же плану.

1. Разложим числа 22 и 105 на простые множители:

$22 = 2 \cdot 11$

$105 = 5 \cdot 21 = 3 \cdot 5 \cdot 7$

2. Сравнив разложения на множители, мы видим, что у чисел 22 и 105 нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми.

Наибольший общий делитель для взаимно простых чисел всегда равен 1.

НОД(22, 105) = 1

3. Единственным делителем числа 1 является само число 1. Следовательно, у чисел 22 и 105 только один общий делитель.

Ответ: 1.