Вопросы в параграфе, страница 51, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

7. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. § 2. Действия со смешенными числами. ч. 1 - страница 51.

Вопросы:

Что такое наибольший общий делитель натуральных чисел?

Какие числа называют взаимно простыми? Приведите примеры.

Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел? Расскажите алгоритм нахождения наибольшего общего делителя нескольких натуральных чисел.

Чему равен НОД двух чисел, одно из которых кратно другому?

Вопросы к параграфу

• Наибольшим общим делителем (НОД) нескольких чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делятся это числа без остатка

• Натуральные числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1
  числа 3 и 7, 5 и 12

• Наибольший общий делитель взаимно простых чисел равен 1

• Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:
  1) разложить числа на простые множители
  2) подчеркнуть общие множители в каждом разложении
  3) найти произведение общих множителей

• НОД двух чисел, одно из которых кратно другому, равно большему числу

Что такое наибольший общий делитель натуральных чисел?
Наибольшим общим делителем (НОД) нескольких натуральных чисел называется наибольшее натуральное число, на которое каждое из данных чисел делится без остатка.
Например, найдем НОД для чисел 18 и 24.
Делители числа 18: {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
Делители числа 24: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
Общие делители для этих чисел: {1, 2, 3, 6}.
Наибольший из общих делителей равен 6. Таким образом, НОД(18, 24) = 6.
Ответ: Наибольший общий делитель (НОД) — это самое большое натуральное число, которое является делителем для каждого из данных чисел.

Какие числа называют взаимно простыми? Приведите примеры.
Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. Это означает, что у них нет других общих делителей, кроме единицы.
Примеры:
• Числа 8 и 9. Делители 8: {1, 2, 4, 8}. Делители 9: {1, 3, 9}. Единственный общий делитель - 1. Значит, НОД(8, 9) = 1.
• Числа 15 и 28. Делители 15: {1, 3, 5, 15}. Делители 28: {1, 2, 4, 7, 14, 28}. Единственный общий делитель - 1. Значит, НОД(15, 28) = 1.
• Любые два различных простых числа, например, 7 и 11, всегда взаимно просты.
Ответ: Взаимно простые числа — это числа, у которых наибольший общий делитель равен 1. Примеры: 8 и 9, 15 и 28.

Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел?
Исходя из определения взаимно простых чисел, их наибольший общий делитель всегда равен единице.
Ответ: 1.

Расскажите алгоритм нахождения наибольшего общего делителя нескольких натуральных чисел.
Алгоритм нахождения НОД нескольких чисел с помощью разложения на простые множители:
1. Разложить каждое из данных чисел на простые множители.
2. Выписать простые множители, которые являются общими для всех разложений.
3. Найти произведение этих общих множителей. При этом каждый множитель нужно взять с наименьшим показателем степени, с которым он входит в разложения.
Пример: Найдем НОД чисел 48, 84 и 120.
1. Разложим на множители:
$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3^1$
$84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1$
$120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
2. Общие простые множители для всех трёх чисел: 2 и 3.
3. Наименьшая степень для множителя 2 это $2^2$. Наименьшая степень для множителя 3 это $3^1$.
НОД(48, 84, 120) = $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.
Ответ: Чтобы найти НОД, нужно разложить числа на простые множители и перемножить их общие множители, взятые в наименьших степенях.

Чему равен НОД двух чисел, одно из которых кратно другому?
Если одно из двух натуральных чисел делится нацело на другое, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел (то есть тому числу, которое является делителем).
Пусть есть числа $a$ и $b$, и $a$ кратно $b$ (то есть $a \vdots b$). Это означает, что $b$ является делителем числа $a$. Поскольку $b$ также является и своим собственным наибольшим делителем, то $b$ и будет наибольшим общим делителем для $a$ и $b$.
Пример: Найдем НОД(36, 12).
Число 36 делится на 12 без остатка ($36 : 12 = 3$), значит, 12 является делителем числа 36. Следовательно, НОД(36, 12) = 12.
Ответ: НОД двух таких чисел равен меньшему из них.