Вопросы в параграфе, страница 81, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

12. Действие умножения смешанных чисел. § 2. Действия со смешенными числами. ч. 1 - страница 81.

Вопросы:

Сформулируйте правило умножения дроби на натуральное число.

Сформулируйте алгоритм умножения двух дробей.

Как выполнить умножение смешанных чисел?

Назовите свойства умножения дробей.

Чему равно произведение смешанного числа и нуля; смешанного числа и единицы?

12. Действие умножения смешанных чисел

Вопросы к параграфу

• чтобы умножить дробь на число, нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним, при возможности сократить полученную дробь

• чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели, первое полученное число записать в числитель дроби, второе полученное число записать в знаменатель дроби, при возможности сократить полученную дробь

• чтобы найти произведение смешанных чисел, надо представить их в виде неправильных дробей, а затем применить алгоритм умножения дробей

• переместительное свойство: а • b = b • а
  сочетательное свойство: а • (b • с) = (а • b) • c

• а • 0 = 0 • а = 0
  а • 1 = 1 • а = а

Сформулируйте правило умножения дроби на натуральное число.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно числитель этой дроби умножить на данное число, а знаменатель оставить без изменений. Если в результате умножения получается неправильная дробь (числитель больше знаменателя или равен ему), то из нее следует выделить целую часть.

В виде формулы это правило записывается так: $ \frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b} $, где $ \frac{a}{b} $ — дробь, а $ n $ — натуральное число.

Например: $ \frac{3}{8} \cdot 5 = \frac{3 \cdot 5}{8} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8} $.

Ответ: Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Сформулируйте алгоритм умножения двух дробей.

Алгоритм умножения двух дробей состоит в следующем: нужно перемножить числители этих дробей, чтобы получить новый числитель, и перемножить их знаменатели, чтобы получить новый знаменатель. Перед умножением рекомендуется, если возможно, сократить дробь, разделив числитель одной дроби и знаменатель другой на их общий делитель.

Формула умножения двух дробей: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $.

Например: $ \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 7} = \frac{6}{35} $.

Ответ: Чтобы умножить одну дробь на другую, нужно перемножить их числители — это будет числитель произведения, и перемножить их знаменатели — это будет знаменатель произведения.

Как выполнить умножение смешанных чисел?

Для выполнения умножения смешанных чисел необходимо следовать алгоритму:

1. Представить каждое смешанное число в виде неправильной дроби. Для этого целую часть умножают на знаменатель дробной части и прибавляют к полученному произведению числитель дробной части. Результат записывают в числитель, а знаменатель оставляют прежним. Формула: $ A\frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c} $.
2. Выполнить умножение полученных неправильных дробей по правилу умножения дробей.
3. Если в результате получилась неправильная дробь, ее следует преобразовать обратно в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком.

Например: $ 2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} \cdot \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{7}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{35}{12} = 2\frac{11}{12} $.

Ответ: Чтобы умножить смешанные числа, их нужно сначала представить в виде неправильных дробей, затем перемножить эти дроби, и, при необходимости, преобразовать результат обратно в смешанное число.

Назовите свойства умножения дробей.

Умножение дробей обладает теми же свойствами, что и умножение натуральных чисел. Для любых дробей $ \frac{a}{b} $, $ \frac{c}{d} $ и $ \frac{e}{f} $ справедливы следующие свойства:

• Переместительное свойство: от перестановки множителей произведение не меняется.
  $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b} $
• Сочетательное свойство: чтобы произведение двух дробей умножить на третью дробь, можно первую дробь умножить на произведение второй и третьей дробей.
  $ \left(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}\right) \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f}\right) $
• Распределительное свойство относительно сложения: чтобы умножить дробь на сумму двух дробей, можно умножить эту дробь на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
  $ \frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d} + \frac{e}{f}\right) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \cdot \frac{e}{f} $

Ответ: Основные свойства умножения дробей: переместительное, сочетательное и распределительное.

Чему равно произведение смешанного числа и нуля; смешанного числа и единицы?

Как и для любых других чисел, для смешанных чисел действуют особые правила умножения на нуль и единицу.

• При умножении любого смешанного числа на нуль произведение равно нулю. Если $ A\frac{b}{c} $ — смешанное число, то $ A\frac{b}{c} \cdot 0 = 0 $.
• При умножении любого смешанного числа на единицу произведение равно этому же смешанному числу. Если $ A\frac{b}{c} $ — смешанное число, то $ A\frac{b}{c} \cdot 1 = A\frac{b}{c} $.

Ответ: Произведение смешанного числа и нуля равно нулю. Произведение смешанного числа и единицы равно самому этому смешанному числу.