Вопросы в параграфе, страница 100, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. 15. Действие деления смешанных чисел - страница 100.

Условие.

Вопросы:

Какие два числа называют взаимно обратными? Приведите примеры.

Какое число обратно числу αb?

Какое число обратно натуральному числу m?

Как записать число, обратное смешанному числу?

Как найти частное смешанных чисел?

Как разделить дробь на натуральное число?

Решение 1.

15. Действие деления смешанных чисел

Вопросы к параграфу

• два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1

• числу $\frac{a}{b}$обратно число $\frac{b}{a}$

• натуральному числу m обратно число $\frac{1}{m}$

• чтобы найти число, обратное смешанному числу, нужно:
  1) представить смешанное число в виде неправильной дроби вида $\frac{m}{n}$
  2) обратным будет число$\frac{n}{m}$

• чтобы найти частное двух смешанных чисел, надо представить их в виде неправильных дробей, а затем применить алгоритм деления дробей

• чтобы разделить дробь на натуральное число, нужно делимое умножить на число, обратное делителю.

Решение 2.

Какие два числа называют взаимно обратными? Приведите примеры.

Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно единице. Иными словами, если числа $a$ и $b$ таковы, что $a \cdot b = 1$, то они являются взаимно обратными. Важно отметить, что ни одно из взаимно обратных чисел не может быть равно нулю ($a \ne 0$ и $b \ne 0$).

Примеры взаимно обратных чисел:
- Числа $7$ и $\frac{1}{7}$, так как $7 \cdot \frac{1}{7} = 1$.
- Дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{3}$, так как $\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{15}{15} = 1$.
- Десятичная дробь $0,2$ и число $5$, так как $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$, а $\frac{1}{5} \cdot 5 = 1$.

Ответ: Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными. Примеры: $7$ и $\frac{1}{7}$; $\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{3}$.

Какое число обратно числу $\frac{a}{b}$?

Чтобы найти число, обратное обыкновенной дроби $\frac{a}{b}$, нужно поменять местами её числитель и знаменатель. Таким образом, числом, обратным дроби $\frac{a}{b}$ (где $a \ne 0$ и $b \ne 0$), является дробь $\frac{b}{a}$.

Это верно, потому что их произведение равно 1: $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1$.

Ответ: Число, обратное числу $\frac{a}{b}$, это $\frac{b}{a}$.

Какое число обратно натуральному числу $m$?

Любое натуральное число $m$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $m = \frac{m}{1}$.

Чтобы найти обратное число, нужно, как и в случае с обычной дробью, поменять местами числитель и знаменатель. Для дроби $\frac{m}{1}$ обратной будет дробь $\frac{1}{m}$.

Проверим: $m \cdot \frac{1}{m} = \frac{m}{1} \cdot \frac{1}{m} = \frac{m}{m} = 1$.

Ответ: Число, обратное натуральному числу $m$, это $\frac{1}{m}$.

Как записать число, обратное смешанному числу?

Чтобы записать число, обратное смешанному числу, необходимо выполнить два шага:
1. Представить смешанное число в виде неправильной дроби. Для этого целую часть умножают на знаменатель дробной части и к результату прибавляют числитель дробной части. Полученное число записывают в числитель новой дроби, а знаменатель оставляют прежним. Например, $c \frac{a}{b} = \frac{c \cdot b + a}{b}$.
2. Найти число, обратное полученной неправильной дроби, то есть поменять местами её числитель и знаменатель.

Пример: найти число, обратное смешанному числу $3 \frac{2}{5}$.
1. Преобразуем $3 \frac{2}{5}$ в неправильную дробь: $3 \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}$.
2. Находим обратную дробь для $\frac{17}{5}$. Это будет $\frac{5}{17}$.

Ответ: Сначала нужно превратить смешанное число в неправильную дробь, а затем "перевернуть" эту дробь (поменять местами числитель и знаменатель).

Как найти частное смешанных чисел?

Чтобы найти частное смешанных чисел (то есть разделить одно смешанное число на другое), нужно:
1. Преобразовать оба смешанных числа (и делимое, и делитель) в неправильные дроби.
2. Выполнить деление дробей: умножить первую дробь (делимое) на дробь, обратную второй (делителю).
3. Если в результате получилась неправильная дробь, её можно сократить и преобразовать обратно в смешанное число.

Пример: найти частное $4 \frac{1}{2} \div 1 \frac{1}{5}$.
1. Преобразуем числа в неправильные дроби: $4 \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$; $1 \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$.
2. Выполним деление: $\frac{9}{2} \div \frac{6}{5} = \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{6} = \frac{9 \cdot 5}{2 \cdot 6} = \frac{45}{12}$.
3. Сократим дробь на 3 и выделим целую часть: $\frac{45}{12} = \frac{15}{4} = 3 \frac{3}{4}$.

Ответ: Нужно преобразовать оба смешанных числа в неправильные дроби, а затем первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Как разделить дробь на натуральное число?

Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить знаменатель этой дроби на данное натуральное число, а числитель оставить без изменений.

Это правило можно записать в виде формулы: $\frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b \cdot n}$.

Это правило является частным случаем деления дробей, так как натуральное число $n$ можно представить как дробь $\frac{n}{1}$. Тогда деление на $n$ равносильно умножению на обратную дробь $\frac{1}{n}$:
$\frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b} \div \frac{n}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{n} = \frac{a \cdot 1}{b \cdot n} = \frac{a}{b \cdot n}$.

Пример: разделить $\frac{3}{7}$ на $2$.
$\frac{3}{7} \div 2 = \frac{3}{7 \cdot 2} = \frac{3}{14}$.

Ответ: Нужно умножить знаменатель дроби на это натуральное число, а числитель оставить прежним.

Решение 3.

Решение 4.