Номер 25, страница 13 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25. Найдите корни уравнения:

1) $|x| + 5|x| - 40 = 4|x|;$

2) $100 - |x| = -49|x| + 124;$

3) $6|x| - 2|x| = 35 - 16|x|;$

4) $29|x| - |x| - 13 = -22|x|.$

1) $|x| + 5|x| - 40 = 4|x|$

Все слагаемые в данном уравнении содержат либо $|x|$, либо являются числами. Это позволяет решить уравнение относительно $|x|$.

Сначала приведем подобные слагаемые в левой части:

$(1+5)|x| - 40 = 4|x|$

$6|x| - 40 = 4|x|$

Теперь перенесем слагаемые с $|x|$ в левую часть уравнения, а свободные члены (числа) — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$6|x| - 4|x| = 40$

$2|x| = 40$

Разделим обе части уравнения на 2:

$|x| = 20$

Уравнение вида $|x| = a$, где $a > 0$, имеет два корня: $x = a$ и $x = -a$.

Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 20$ и $x_2 = -20$.

Ответ: $-20; 20$.

2) $100 - |x| = -49|x| + 124$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $|x|$, в левой части уравнения, а числа — в правой.

$-|x| + 49|x| = 124 - 100$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$48|x| = 24$

Разделим обе части уравнения на 48, чтобы найти $|x|$:

$|x| = \frac{24}{48}$

Сократим дробь:

$|x| = \frac{1}{2}$

Данное уравнение имеет два корня, так как $\frac{1}{2} > 0$:

$x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-0.5; 0.5$.

3) $6|x| - 2|x| = 35 - 16|x|$

Сначала упростим левую часть уравнения, приведя подобные слагаемые:

$(6-2)|x| = 35 - 16|x|$

$4|x| = 35 - 16|x|$

Теперь перенесем слагаемое $-16|x|$ из правой части в левую:

$4|x| + 16|x| = 35$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$20|x| = 35$

Разделим обе части уравнения на 20:

$|x| = \frac{35}{20}$

Сократим полученную дробь на 5:

$|x| = \frac{7}{4}$

Уравнение имеет два корня, так как $\frac{7}{4} > 0$:

$x_1 = \frac{7}{4}$ и $x_2 = -\frac{7}{4}$.

Ответ: $-\frac{7}{4}; \frac{7}{4}$.

4) $29|x| - |x| - 13 = -22|x|$

Сначала упростим левую часть, приведя подобные слагаемые с $|x|$:

$(29-1)|x| - 13 = -22|x|$

$28|x| - 13 = -22|x|$

Теперь перенесем слагаемые с $|x|$ в левую часть, а число — в правую.

$28|x| + 22|x| = 13$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$50|x| = 13$

Разделим обе части уравнения на 50:

$|x| = \frac{13}{50}$

Уравнение имеет два корня, так как $\frac{13}{50} > 0$:

$x_1 = \frac{13}{50}$ и $x_2 = -\frac{13}{50}$.

Можно также представить ответ в виде десятичных дробей: $x_1 = 0.26$ и $x_2 = -0.26$.

Ответ: $-\frac{13}{50}; \frac{13}{50}$.