Номер 31, страница 14 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31. Решите систему уравнений и вы узнаете о Наурызымском заповеднике, который находится в Костанайской области:

1)

$$\begin{cases} x + y = 3897, \\ x - y = 35; \end{cases}$$

x — в этом году Наурызымский заповедник был реорганизован;

y — в этом году был организован Наурызымский заповедник;

2)

$$\begin{cases} x + 10y = 1197, \\ 20y - x = 1434; \end{cases}$$

x — столько тысяч гектаров была площадь Наурызымского заповедника первоначально;

y — столько тысяч гектаров стала площадь Наурызымского заповедника после реорганизации;

3)

$$\begin{cases} 0,1x + 0,01y = 32, \\ 2x + y = 1200; \end{cases}$$

x — столько видов птиц в Наурызымском заповеднике;

y — примерно столько видов растений в Наурызымский заповедник Наурызымском заповеднике;

4)

$$\begin{cases} 1,5x + 2,5y = 75, \\ \frac{1}{20} x + \frac{1}{6} y = 3; \end{cases}$$

x — примерно столько видов млекопитающих в Наурызымском заповеднике;

y — столько видов рыб в Наурызымском заповеднике.

1) Дана система уравнений: $\begin{cases} x + y = 3897 \\ x - y = 35 \end{cases}$. Решим ее методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений: $(x+y) + (x-y) = 3897 + 35$. После упрощения получаем $2x = 3932$. Отсюда находим $x$: $x = \frac{3932}{2} = 1966$. Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$: $1966 + y = 3897$. Выражаем $y$: $y = 3897 - 1966 = 1931$. Таким образом, заповедник был реорганизован в 1966 году ($x$), а организован в 1931 году ($y$). Ответ: $x = 1966$, $y = 1931$.

2) Дана система уравнений: $\begin{cases} x + 10y = 1197 \\ 20y - x = 1434 \end{cases}$. Перепишем второе уравнение для удобства: $\begin{cases} x + 10y = 1197 \\ -x + 20y = 1434 \end{cases}$. Решим систему методом сложения. Сложим два уравнения: $(x + 10y) + (-x + 20y) = 1197 + 1434$. Упрощаем: $30y = 2631$. Находим $y$: $y = \frac{2631}{30} = 87,7$. Подставим значение $y$ в первое уравнение: $x + 10 \cdot 87,7 = 1197$. Получаем $x + 877 = 1197$. Находим $x$: $x = 1197 - 877 = 320$. Таким образом, первоначальная площадь заповедника ($x$) составляла 320 тысяч гектаров, а после реорганизации ($y$) стала 87,7 тысяч гектаров. Ответ: $x = 320$, $y = 87,7$.

3) Дана система уравнений: $\begin{cases} 0,1x + 0,01y = 32 \\ 2x + y = 1200 \end{cases}$. Решим ее методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$: $y = 1200 - 2x$. Подставим это выражение в первое уравнение: $0,1x + 0,01(1200 - 2x) = 32$. Раскроем скобки: $0,1x + 12 - 0,02x = 32$. Приведем подобные слагаемые: $0,08x = 32 - 12$, то есть $0,08x = 20$. Находим $x$: $x = \frac{20}{0,08} = \frac{2000}{8} = 250$. Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$: $y = 1200 - 2 \cdot 250 = 1200 - 500 = 700$. Таким образом, в заповеднике 250 видов птиц ($x$) и примерно 700 видов растений ($y$). Ответ: $x = 250$, $y = 700$.

4) Дана система уравнений: $\begin{cases} 1,5x + 2,5y = 75 \\ \frac{1}{20}x + \frac{1}{6}y = 3 \end{cases}$. Упростим оба уравнения для удобства вычислений. Умножим первое уравнение на 2: $2(1,5x + 2,5y) = 2 \cdot 75$, что дает $3x + 5y = 150$. Умножим второе уравнение на 60 (наименьшее общее кратное для 20 и 6): $60(\frac{1}{20}x + \frac{1}{6}y) = 60 \cdot 3$, что дает $3x + 10y = 180$. Теперь решим новую систему: $\begin{cases} 3x + 5y = 150 \\ 3x + 10y = 180 \end{cases}$. Используем метод вычитания: вычтем первое уравнение из второго. $(3x + 10y) - (3x + 5y) = 180 - 150$. Упрощаем: $5y = 30$. Находим $y$: $y = \frac{30}{5} = 6$. Подставим значение $y$ в первое упрощенное уравнение: $3x + 5 \cdot 6 = 150$. Получаем $3x + 30 = 150$. Отсюда $3x = 120$ и $x = \frac{120}{3} = 40$. Таким образом, в заповеднике примерно 40 видов млекопитающих ($x$) и 6 видов рыб ($y$). Ответ: $x = 40$, $y = 6$.