Номер 37, страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37. Найдите наибольшие целые числа, являющиеся решением неравенства:

1) $\frac{3x-4}{2} < \frac{6-2x}{3}$;

2) $\frac{10-x}{6} \ge \frac{x+7}{5}$;

3) $\frac{3+2x}{12} \ge \frac{3x-2}{15}$.

1) Решим неравенство $\frac{3x - 4}{2} < \frac{6 - 2x}{3}$.

Для того чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6. Поскольку 6 — положительное число, знак неравенства сохраняется.

$6 \cdot \frac{3x - 4}{2} < 6 \cdot \frac{6 - 2x}{3}$

$3(3x - 4) < 2(6 - 2x)$

Теперь раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$9x - 12 < 12 - 4x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой. Для этого прибавим $4x$ к обеим частям и прибавим 12 к обеим частям:

$9x + 4x < 12 + 12$

$13x < 24$

Разделим обе части на 13, чтобы найти $x$:

$x < \frac{24}{13}$

Представим дробь в виде смешанного числа: $x < 1\frac{11}{13}$.

Нам нужно найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Целые числа, которые меньше $1\frac{11}{13}$, это 1, 0, -1, и так далее. Самое большое из них — 1.

Ответ: 1

2) Решим неравенство $\frac{10 - x}{6} > \frac{x + 7}{5}$.

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 5, которое равно 30. Знак неравенства не изменится, так как 30 > 0.

$30 \cdot \frac{10 - x}{6} > 30 \cdot \frac{x + 7}{5}$

$5(10 - x) > 6(x + 7)$

Раскроем скобки:

$50 - 5x > 6x + 42$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части, а постоянные — в другой. Перенесем $-5x$ вправо и 42 влево:

$50 - 42 > 6x + 5x$

$8 > 11x$

Запишем неравенство в более привычном виде:

$11x < 8$

Разделим обе части на 11:

$x < \frac{8}{11}$

Нам нужно найти наибольшее целое число, которое меньше $\frac{8}{11}$. Так как $\frac{8}{11}$ — это положительное число, меньшее 1, наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому условию, является 0.

Ответ: 0

3) Решим неравенство $\frac{3 + 2x}{12} \ge \frac{3x - 2}{15}$.

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 12 и 15. Разложим их на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$. НОК(12, 15) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$. Умножим обе части неравенства на 60.

$60 \cdot \frac{3 + 2x}{12} \ge 60 \cdot \frac{3x - 2}{15}$

$5(3 + 2x) \ge 4(3x - 2)$

Раскроем скобки:

$15 + 10x \ge 12x - 8$

Сгруппируем слагаемые. Перенесем $10x$ вправо и $-8$ влево:

$15 + 8 \ge 12x - 10x$

$23 \ge 2x$

Запишем иначе:

$2x \le 23$

Разделим на 2:

$x \le \frac{23}{2}$

$x \le 11.5$

Мы ищем наибольшее целое число, которое меньше или равно 11.5. Этим числом является 11.

Ответ: 11