Номер 41, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41. Решите неравенство:

1) $|1 + 2x| < 9$;

2) $|3 + 2x| \le 5$;

3) $|1 - 2x| \ge 7$;

4) $|2 - 5x| > 22$.

1) Для решения неравенства $|1 + 2x| < 9$ воспользуемся свойством модуля: неравенство вида $|a| < b$ (где $b>0$) равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.

В нашем случае это означает:

$-9 < 1 + 2x < 9$

Вычтем 1 из всех частей неравенства, чтобы выделить выражение с $x$:

$-9 - 1 < 2x < 9 - 1$

$-10 < 2x < 8$

Теперь разделим все части неравенства на 2:

$\frac{-10}{2} < x < \frac{8}{2}$

$-5 < x < 4$

Решением является интервал от -5 до 4, не включая концы.

Ответ: $x \in (-5; 4)$

2) Для решения неравенства $|3 + 2x| \le 5$ используем свойство модуля: неравенство вида $|a| \le b$ (где $b \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$.

Применяя это правило, получаем:

$-5 \le 3 + 2x \le 5$

Вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-5 - 3 \le 2x \le 5 - 3$

$-8 \le 2x \le 2$

Разделим все части неравенства на 2:

$\frac{-8}{2} \le x \le \frac{2}{2}$

$-4 \le x \le 1$

Решением является отрезок от -4 до 1, включая концы.

Ответ: $x \in [-4; 1]$

3) Для решения неравенства $|1 - 2x| \ge 7$ воспользуемся свойством модуля: неравенство вида $|a| \ge b$ (где $b \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $a \ge b$ или $a \le -b$.

В данном случае получаем совокупность:

$\left[ \begin{aligned} 1 - 2x \ge 7 \\ 1 - 2x \le -7 \end{aligned} \right.$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$1 - 2x \ge 7$

$-2x \ge 7 - 1$

$-2x \ge 6$

При делении на отрицательное число (-2) знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{6}{-2}$

$x \le -3$

Второе неравенство:

$1 - 2x \le -7$

$-2x \le -7 - 1$

$-2x \le -8$

Делим на -2 и меняем знак неравенства:

$x \ge \frac{-8}{-2}$

$x \ge 4$

Решением является объединение двух промежутков: $x \le -3$ и $x \ge 4$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [4; \infty)$

4) Для решения неравенства $|2 - 5x| > 22$ используем свойство модуля: неравенство вида $|a| > b$ (где $b > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $a > b$ или $a < -b$.

Получаем совокупность:

$\left[ \begin{aligned} 2 - 5x > 22 \\ 2 - 5x < -22 \end{aligned} \right.$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$2 - 5x > 22$

$-5x > 22 - 2$

$-5x > 20$

При делении на отрицательное число (-5) знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{20}{-5}$

$x < -4$

Второе неравенство:

$2 - 5x < -22$

$-5x < -22 - 2$

$-5x < -24$

Делим на -5 и меняем знак неравенства:

$x > \frac{-24}{-5}$

$x > 4.8$

Решением является объединение двух промежутков: $x < -4$ и $x > 4.8$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (4.8; \infty)$