Номер 47, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47. Постройте точку $A(3; 4)$ и точку $\text{B}$, у которой абсцисса такая же, как у точки $\text{A}$, а ордината составляет $50\%$ от ординаты точки $\text{B}$. Постройте точку $\text{C}$, у которой ордината такая же, как у точки $\text{B}$, а абсцисса в 2 раза больше абсциссы точки $\text{B}$. Постройте точку $\text{T}$, у которой ордината равна нулю, а абсцисса такая же, как у точки $\text{C}$. Постройте точки $D, M, K, F$, симметричные относительно оси ординат соответственно точкам $A, B, C, T$. Найдите периметр и площадь фигуры $ABCTFKMDA$, если длина единичного отрезка равна 5 мм.

Рис. 1

Сначала, согласно условиям задачи, определим координаты всех необходимых точек.

1. Точка $A$ задана координатами $A(3; 4)$.
2. У точки $B$ абсцисса такая же, как у точки $A$, т.е. $x_B = 3$. Ордината составляет 50% от ординаты точки $A$, т.е. $y_B = 0.5 \cdot 4 = 2$. Таким образом, $B(3; 2)$.
3. У точки $C$ ордината такая же, как у точки $B$, т.е. $y_C = 2$. Абсцисса в 2 раза больше абсциссы точки $B$, т.е. $x_C = 2 \cdot 3 = 6$. Таким образом, $C(6; 2)$.
4. У точки $T$ ордината равна нулю, т.е. $y_T = 0$. Абсцисса такая же, как у точки $C$, т.е. $x_T = 6$. Таким образом, $T(6; 0)$.
5. Точки $D, M, K, F$ симметричны относительно оси ординат (оси $y$) соответственно точкам $A, B, C, T$. При такой симметрии координата $x$ меняет свой знак на противоположный, а координата $y$ остается неизменной.
   • $D$ симметрична $A(3; 4) \implies D(-3; 4)$.
   • $M$ симметрична $B(3; 2) \implies M(-3; 2)$.
   • $K$ симметрична $C(6; 2) \implies K(-6; 2)$.
   • $F$ симметрична $T(6; 0) \implies F(-6; 0)$.

Теперь, имея координаты всех вершин фигуры $ABCTFKMDA$, мы можем найти ее периметр и площадь.

Найдите периметр фигуры ABCTFKMDA

Периметр — это сумма длин всех сторон. Вычислим длину каждой стороны в единичных отрезках (ед. отр.). Все стороны фигуры параллельны осям координат.

• $AB$: $|y_A - y_B| = |4 - 2| = 2$ ед. отр.
• $BC$: $|x_C - x_B| = |6 - 3| = 3$ ед. отр.
• $CT$: $|y_C - y_T| = |2 - 0| = 2$ ед. отр.
• $TF$: $|x_T - x_F| = |6 - (-6)| = 12$ ед. отр.
• $FK$: $|y_K - y_F| = |2 - 0| = 2$ ед. отр.
• $KM$: $|x_K - x_M| = |-6 - (-3)| = 3$ ед. отр.
• $MD$: $|y_D - y_M| = |4 - 2| = 2$ ед. отр.
• $DA$: $|x_D - x_A| = |-3 - 3| = 6$ ед. отр.

Суммарный периметр в единичных отрезках: $P = 2 + 3 + 2 + 12 + 2 + 3 + 2 + 6 = 32$ ед. отр.

Учитывая, что длина единичного отрезка равна 5 мм, периметр в миллиметрах составляет: $32 \cdot 5 = 160$ мм.

Ответ: 160 мм.

Найдите площадь фигуры ABCTFKMDA

Для нахождения площади разобьем фигуру на два прямоугольника.

• Первый (нижний) прямоугольник ограничен координатами по оси $x$ от -6 до 6 и по оси $y$ от 0 до 2. Его площадь $S_1 = (6 - (-6)) \cdot (2 - 0) = 12 \cdot 2 = 24$ кв. ед.
• Второй (верхний) прямоугольник ограничен координатами по оси $x$ от -3 до 3 и по оси $y$ от 2 до 4. Его площадь $S_2 = (3 - (-3)) \cdot (4 - 2) = 6 \cdot 2 = 12$ кв. ед.

Общая площадь фигуры в квадратных единицах: $S = S_1 + S_2 = 24 + 12 = 36$ кв. ед.

Поскольку 1 единичный отрезок равен 5 мм, то 1 квадратная единица равна $5^2 = 25$ мм$^2$. Тогда площадь в квадратных миллиметрах составляет: $36 \cdot 25 = 900$ мм$^2$.

Ответ: 900 мм$^2$.