Номер 53, страница 19 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

53. Найдите длину стороны куба, объем которого равен объему прямоугольного параллелепипеда с измерениями:

1) 4 см, 6 см и 9 см;

2) 4 см, 10 см, 25 см;

3) 5 см, 8 см, 25 см;

4) 27 см, 8 см, 125 см;

5) 6,4 см, 2,7 см, 34,3 см;

6) 0,7 см, 4,9 см, 0,8 см.

1) Сначала найдем объем прямоугольного параллелепипеда. Объем $V_{парал.}$ равен произведению его измерений (длины, ширины и высоты).

$V_{парал.} = 4 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 216 \text{ см}^3$.

По условию задачи, объем куба $V_{куба}$ равен объему этого параллелепипеда, то есть $V_{куба} = 216 \text{ см}^3$.

Длина стороны куба $a$ находится по формуле $a = \sqrt[3]{V_{куба}}$.

$a = \sqrt[3]{216} = 6 \text{ см}$, так как $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.

Ответ: 6 см.

2) Найдем объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4 см, 10 см и 25 см.

$V_{парал.} = 4 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} \cdot 25 \text{ см} = 1000 \text{ см}^3$.

Объем куба равен объему параллелепипеда: $V_{куба} = 1000 \text{ см}^3$.

Найдем длину стороны куба $a$:

$a = \sqrt[3]{V_{куба}} = \sqrt[3]{1000} = 10 \text{ см}$, так как $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.

Ответ: 10 см.

3) Найдем объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 5 см, 8 см и 25 см.

$V_{парал.} = 5 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} \cdot 25 \text{ см} = 1000 \text{ см}^3$.

Объем куба равен объему параллелепипеда: $V_{куба} = 1000 \text{ см}^3$.

Найдем длину стороны куба $a$:

$a = \sqrt[3]{V_{куба}} = \sqrt[3]{1000} = 10 \text{ см}$.

Ответ: 10 см.

4) Найдем объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 27 см, 8 см и 125 см.

$V_{парал.} = 27 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} \cdot 125 \text{ см}$.

Объем куба равен этому значению. Найдем сторону куба $a$, извлекая кубический корень из произведения:

$a = \sqrt[3]{27 \cdot 8 \cdot 125} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{125}$.

Так как $3^3 = 27$, $2^3 = 8$ и $5^3 = 125$, получаем:

$a = 3 \cdot 2 \cdot 5 = 30 \text{ см}$.

Ответ: 30 см.

5) Найдем объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 6,4 см, 2,7 см и 34,3 см.

$V_{парал.} = 6,4 \cdot 2,7 \cdot 34,3$.

Сторона куба $a = \sqrt[3]{V_{парал.}}$. Для удобства вычисления представим десятичные дроби в виде произведения целых чисел и степеней 10:

$a = \sqrt[3]{(64 \cdot 0,1) \cdot (27 \cdot 0,1) \cdot (343 \cdot 0,1)} = \sqrt[3]{64 \cdot 27 \cdot 343 \cdot 0,001}$.

Используем свойство корня из произведения:

$a = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{343} \cdot \sqrt[3]{0,001}$.

Так как $4^3 = 64$, $3^3 = 27$, $7^3 = 343$ и $0,1^3 = 0,001$, получаем:

$a = 4 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 0,1 = 84 \cdot 0,1 = 8,4 \text{ см}$.

Ответ: 8,4 см.

6) Найдем объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 0,7 см, 4,9 см и 0,8 см.

$V_{парал.} = 0,7 \cdot 4,9 \cdot 0,8$.

Найдем сторону куба $a = \sqrt[3]{V_{парал.}}$. Представим множители в удобном для извлечения корня виде:

$V_{парал.} = 0,7 \cdot (7 \cdot 0,7) \cdot (8 \cdot 0,1) = 0,7 \cdot 0,7 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 0,1$.

Сгруппируем множители иначе: $0,7 = 7 \cdot 0,1$; $4,9 = 49 \cdot 0,1$; $0,8 = 8 \cdot 0,1$.

$V_{парал.} = (7 \cdot 0,1) \cdot (49 \cdot 0,1) \cdot (8 \cdot 0,1) = (7 \cdot 49) \cdot 8 \cdot (0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1) = 343 \cdot 8 \cdot 0,001$.

Теперь извлечем кубический корень:

$a = \sqrt[3]{343 \cdot 8 \cdot 0,001} = \sqrt[3]{343} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{0,001}$.

$a = 7 \cdot 2 \cdot 0,1 = 1,4 \text{ см}$.

Ответ: 1,4 см.