Номер 51, страница 19 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51. Решите задачу, составьте обратные задачи и решите их: Одна мастерская может выполнить некоторую работу за 6 ч, а другая — за 4 ч. Сколько потребуется времени для выполнения этой работы, если они будут работать совместно?

Решение исходной задачи

Для решения задач на совместную работу удобно принять весь объем работы за 1.

1. Найдем производительность первой мастерской. Если вся работа (1) выполняется за 6 часов, то за 1 час мастерская выполняет $1/6$ часть работы. $v_1 = \frac{1}{6}$ (работы/час).

2. Найдем производительность второй мастерской. Если вся работа (1) выполняется за 4 часа, то за 1 час мастерская выполняет $1/4$ часть работы. $v_2 = \frac{1}{4}$ (работы/час).

3. При совместной работе их производительности складываются. Найдем общую производительность. $v_{общ} = v_1 + v_2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{4}$. Приведем дроби к общему знаменателю 12: $v_{общ} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$ (работы/час).

4. Теперь найдем время, за которое обе мастерские выполнят всю работу вместе. Для этого нужно весь объем работы (1) разделить на общую производительность. $t = \frac{1}{v_{общ}} = \frac{1}{\frac{5}{12}} = \frac{12}{5}$ часа.

5. Переведем результат в часы и минуты. $\frac{12}{5} = 2 \frac{2}{5}$ часа. Поскольку в 1 часе 60 минут, то $\frac{2}{5}$ часа = $\frac{2}{5} \times 60 = 24$ минуты. Таким образом, совместная работа займет 2 часа 24 минуты.

Ответ: 2,4 часа или 2 часа 24 минуты.

Обратная задача 1 и ее решение

Условие: Две мастерские, работая совместно, выполняют некоторую работу за 2,4 часа. Известно, что первая мастерская, работая одна, может выполнить эту же работу за 6 часов. За сколько часов выполнит эту работу вторая мастерская, работая одна?

1. Примем всю работу за 1. Общая производительность двух мастерских: $v_{общ} = \frac{1}{2,4} = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12}$ (работы/час).

2. Производительность первой мастерской: $v_1 = \frac{1}{6}$ (работы/час).

3. Чтобы найти производительность второй мастерской ($v_2$), нужно из общей производительности вычесть производительность первой. $v_2 = v_{общ} - v_1 = \frac{5}{12} - \frac{1}{6} = \frac{5}{12} - \frac{2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ (работы/час).

4. Зная производительность второй мастерской, найдем время, за которое она выполнит всю работу. $t_2 = \frac{1}{v_2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$ часа.

Ответ: 4 часа.

Обратная задача 2 и ее решение

Условие: Две мастерские, работая совместно, выполняют некоторую работу за 2,4 часа. Известно, что вторая мастерская, работая одна, может выполнить эту же работу за 4 часа. За сколько часов выполнит эту работу первая мастерская, работая одна?

1. Примем всю работу за 1. Общая производительность двух мастерских: $v_{общ} = \frac{1}{2,4} = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12}$ (работы/час).

2. Производительность второй мастерской: $v_2 = \frac{1}{4}$ (работы/час).

3. Чтобы найти производительность первой мастерской ($v_1$), нужно из общей производительности вычесть производительность второй. $v_1 = v_{общ} - v_2 = \frac{5}{12} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ (работы/час).

4. Зная производительность первой мастерской, найдем время, за которое она выполнит всю работу. $t_1 = \frac{1}{v_1} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6$ часов.

Ответ: 6 часов.