Номер 45, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45. Постройте точки $A(0; 1,5)$ и $B(2; 6)$.

1) Проведите отрезки $AB$ и $BO$ и измерьте их длины с точностью до 1 мм.

2) Найдите координаты точки $\text{F}$, симметричной точке $\text{B}$ относительно оси ординат, и координаты точек $\text{E}$, $\text{D}$, $\text{C}$, симметричных соответственно точкам $\text{F}$, $\text{A}$ и $\text{B}$ относительно оси абсцисс.

3) Проведите ломаную $ABOCDEFA$ и найдите ее длину с точностью до 1 мм.

Для решения задачи построим точки A(0; 1,5) и B(2; 6) в декартовой системе координат. Точка O является началом координат, ее координаты O(0; 0).

1) Для нахождения длин отрезков AB и BO воспользуемся формулой расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Найдем длину отрезка AB, где A(0; 1,5) и B(2; 6):

$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (6-1,5)^2} = \sqrt{2^2 + (4,5)^2} = \sqrt{4 + 20,25} = \sqrt{24,25} \approx 4,924$ единичных отрезков.

Найдем длину отрезка BO, где B(2; 6) и O(0; 0):

$BO = \sqrt{(0-2)^2 + (0-6)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \approx 6,325$ единичных отрезков.

Поскольку в задаче требуется измерить длину с точностью до 1 мм, мы предполагаем, что 1 единичный отрезок на координатной плоскости равен 1 см. Тогда 1 см = 10 мм.

Длина AB: $4,924 \text{ см} \approx 49,24 \text{ мм}$. С точностью до 1 мм, это 49 мм.

Длина BO: $6,325 \text{ см} \approx 63,25 \text{ мм}$. С точностью до 1 мм, это 63 мм.

Ответ: Длина отрезка AB ≈ 49 мм, длина отрезка BO ≈ 63 мм.

2) Найдем координаты симметричных точек.

Точка F симметрична точке B(2; 6) относительно оси ординат (оси OY). При симметрии относительно оси OY координата x меняет свой знак, а координата y остается без изменений. Таким образом, координаты точки F будут (-2; 6).

Точки E, D, C симметричны соответственно точкам F, A и B относительно оси абсцисс (оси OX). При симметрии относительно оси OX координата y меняет свой знак, а координата x остается без изменений.

• Точка E симметрична точке F(-2; 6). Координаты точки E: (-2; -6).
• Точка D симметрична точке A(0; 1,5). Координаты точки D: (0; -1,5).
• Точка C симметрична точке B(2; 6). Координаты точки C: (2; -6).

Ответ: Координаты точек: F(-2; 6), E(-2; -6), D(0; -1,5), C(2; -6).

3) Длина ломаной ABOCDEFA равна сумме длин составляющих ее отрезков: $L = AB + BO + OC + CD + DE + EF + FA$.

Используем вычисленные в предыдущих пунктах координаты и длины:

• $AB = \sqrt{24,25} \approx 4,924$
• $BO = \sqrt{40} \approx 6,325$
• $OC$: C(2; -6), O(0; 0). $OC = \sqrt{(2-0)^2 + (-6-0)^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40}$. Таким образом, $OC = BO$.
• $CD$: C(2; -6), D(0; -1,5). $CD = \sqrt{(0-2)^2 + (-1,5 - (-6))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (4,5)^2} = \sqrt{4+20,25} = \sqrt{24,25}$. Таким образом, $CD = AB$.
• $DE$: D(0; -1,5), E(-2; -6). $DE = \sqrt{(-2-0)^2 + (-6 - (-1,5))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4,5)^2} = \sqrt{4+20,25} = \sqrt{24,25}$. Таким образом, $DE = AB$.
• $EF$: E(-2; -6), F(-2; 6). Это вертикальный отрезок, его длина равна модулю разности y-координат: $EF = |6 - (-6)| = 12$.
• $FA$: F(-2; 6), A(0; 1,5). $FA = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1,5 - 6)^2} = \sqrt{2^2 + (-4,5)^2} = \sqrt{4+20,25} = \sqrt{24,25}$. Таким образом, $FA = AB$.

Общая длина ломаной:

$L = AB + BO + OC + CD + DE + EF + FA = \sqrt{24,25} + \sqrt{40} + \sqrt{40} + \sqrt{24,25} + \sqrt{24,25} + 12 + \sqrt{24,25}$

$L = 4 \cdot \sqrt{24,25} + 2 \cdot \sqrt{40} + 12$

$L \approx 4 \cdot 4,924 + 2 \cdot 6,325 + 12 = 19,696 + 12,65 + 12 = 44,346$ единичных отрезков.

Переведем в миллиметры, приняв 1 единичный отрезок за 1 см:

$44,346 \text{ см} = 443,46 \text{ мм}$.

Округляя до 1 мм, получаем 443 мм.

Ответ: Длина ломаной ABOCDEFA ≈ 443 мм.