Номер 42, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

42. Решите систему неравенств и найдите значение суммы всех целых чисел, являющихся решением системы:

1) $ \begin{cases} |x| < 4, \\ |x| \ge 1, \\ x > -3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} |x| \le 10, \\ x > -7, \\ x \le 2; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} |x| > 3, \\ x \le 4, \\ |x| \le 5. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} |x| < 4 \\ |x| \ge 1 \\ x > -3 \end{cases} $

Первое неравенство $|x| < 4$ эквивалентно двойному неравенству $-4 < x < 4$.

Второе неравенство $|x| \ge 1$ эквивалентно совокупности $x \le -1$ или $x \ge 1$, то есть $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Третье неравенство $x > -3$ определяет интервал $(-3, \infty)$.

Найдем пересечение решений всех трех неравенств. Из первых двух неравенств следует, что $x \in (-4, -1] \cup [1, 4)$. Учитывая третье неравенство $x > -3$, получаем итоговое решение системы: $x \in (-3, -1] \cup [1, 4)$.

Целыми числами, входящими в это множество, являются: -2, -1, 1, 2, 3.

Найдем сумму этих целых чисел: $(-2) + (-1) + 1 + 2 + 3 = 3$.

Ответ: 3

2) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} |x| \le 10 \\ x > -7 \\ x \le 2 \end{cases} $

Первое неравенство $|x| \le 10$ эквивалентно двойному неравенству $-10 \le x \le 10$.

Второе и третье неравенства: $x > -7$ и $x \le 2$.

Найдем пересечение трех множеств: $[-10, 10]$, $(-7, \infty)$ и $(-\infty, 2]$. Пересечение всех трех условий дает нам интервал $x \in (-7, 2]$.

Целыми числами, принадлежащими этому интервалу, являются: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Найдем сумму этих целых чисел: $(-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = -18$.

Ответ: -18

3) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} |x| > 3 \\ x \le 4 \\ |x| \le 5 \end{cases} $

Объединим первое и третье неравенства: $|x| > 3$ и $|x| \le 5$. Это можно записать в виде двойного неравенства для модуля: $3 < |x| \le 5$.

Данное условие эквивалентно совокупности двух интервалов: $x \in [-5, -3) \cup (3, 5]$.

Теперь учтем второе неравенство системы: $x \le 4$.

Найдем пересечение множества $[-5, -3) \cup (3, 5]$ с множеством $(-\infty, 4]$. Получаем итоговое решение системы: $x \in [-5, -3) \cup (3, 4]$.

Целыми числами, входящими в это множество, являются: -5, -4, 4.

Найдем сумму этих целых чисел: $(-5) + (-4) + 4 = -5$.

Ответ: -5