Номер 36, страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.1) $5\frac{2}{3} + \frac{7}{3}(14x - 3) > \frac{4}{9}(18x - 2)$;

2) $\frac{5}{6}(7 + 9y) \le 7\frac{1}{2} - \frac{7}{8}(5y - 8)$;

3) $30 - \frac{4}{5}(2 - 15z) \ge \frac{2}{3}(15z + 1)$;

4) $\frac{3}{4}(8t + 1) < \frac{5}{6}(16t - 3) - 12\frac{1}{2}$.

1) Исходное неравенство:

$5\frac{2}{3} + \frac{7}{3}(14x - 3) > \frac{4}{9}(18x - 2)$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$5\frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{17}{3}$

Неравенство принимает вид:

$\frac{17}{3} + \frac{7}{3}(14x - 3) > \frac{4}{9}(18x - 2)$

Для избавления от знаменателей умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 9, то есть на 9:

$9 \cdot \frac{17}{3} + 9 \cdot \frac{7}{3}(14x - 3) > 9 \cdot \frac{4}{9}(18x - 2)$

$3 \cdot 17 + 3 \cdot 7(14x - 3) > 4(18x - 2)$

$51 + 21(14x - 3) > 4(18x - 2)$

Раскроем скобки:

$51 + 294x - 63 > 72x - 8$

Приведем подобные слагаемые:

$294x - 12 > 72x - 8$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$294x - 72x > 12 - 8$

$222x > 4$

Разделим обе части на 222:

$x > \frac{4}{222}$

Сократим дробь:

$x > \frac{2}{111}$

Ответ: $x \in (\frac{2}{111}; +\infty)$.

2) Исходное неравенство:

$\frac{5}{6}(7 + 9y) \le 7\frac{1}{2} - \frac{7}{8}(5y - 8)$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$7\frac{1}{2} = \frac{7 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{15}{2}$

Неравенство принимает вид:

$\frac{5}{6}(7 + 9y) \le \frac{15}{2} - \frac{7}{8}(5y - 8)$

Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 6, 2 и 8, то есть на 24:

$24 \cdot \frac{5}{6}(7 + 9y) \le 24 \cdot \frac{15}{2} - 24 \cdot \frac{7}{8}(5y - 8)$

$4 \cdot 5(7 + 9y) \le 12 \cdot 15 - 3 \cdot 7(5y - 8)$

$20(7 + 9y) \le 180 - 21(5y - 8)$

Раскроем скобки:

$140 + 180y \le 180 - 105y + 168$

Приведем подобные слагаемые:

$140 + 180y \le 348 - 105y$

Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а числа — в правую:

$180y + 105y \le 348 - 140$

$285y \le 208$

Разделим обе части на 285:

$y \le \frac{208}{285}$

Ответ: $y \in (-\infty; \frac{208}{285}]$.

3) Исходное неравенство:

$30 - \frac{4}{5}(2 - 15z) \ge \frac{2}{3}(15z + 1)$

Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 3, то есть на 15:

$15 \cdot 30 - 15 \cdot \frac{4}{5}(2 - 15z) \ge 15 \cdot \frac{2}{3}(15z + 1)$

$450 - 3 \cdot 4(2 - 15z) \ge 5 \cdot 2(15z + 1)$

$450 - 12(2 - 15z) \ge 10(15z + 1)$

Раскроем скобки:

$450 - 24 + 180z \ge 150z + 10$

Приведем подобные слагаемые:

$426 + 180z \ge 150z + 10$

Перенесем слагаемые с $z$ в левую часть, а числа — в правую:

$180z - 150z \ge 10 - 426$

$30z \ge -416$

Разделим обе части на 30:

$z \ge -\frac{416}{30}$

Сократим дробь:

$z \ge -\frac{208}{15}$

Ответ: $z \in [-\frac{208}{15}; +\infty)$.

4) Исходное неравенство:

$\frac{3}{4}(8t + 1) < \frac{5}{6}(16t - 3) - 12\frac{1}{2}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$12\frac{1}{2} = \frac{12 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{25}{2}$

Неравенство принимает вид:

$\frac{3}{4}(8t + 1) < \frac{5}{6}(16t - 3) - \frac{25}{2}$

Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 4, 6 и 2, то есть на 12:

$12 \cdot \frac{3}{4}(8t + 1) < 12 \cdot \frac{5}{6}(16t - 3) - 12 \cdot \frac{25}{2}$

$3 \cdot 3(8t + 1) < 2 \cdot 5(16t - 3) - 6 \cdot 25$

$9(8t + 1) < 10(16t - 3) - 150$

Раскроем скобки:

$72t + 9 < 160t - 30 - 150$

Приведем подобные слагаемые:

$72t + 9 < 160t - 180$

Перенесем слагаемые с $t$ в правую часть, а числа — в левую:

$9 + 180 < 160t - 72t$

$189 < 88t$

Разделим обе части на 88:

$\frac{189}{88} < t$

Запишем в привычном виде:

$t > \frac{189}{88}$

Ответ: $t \in (\frac{189}{88}; +\infty)$.