Номер 9.20, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.20. Найдите относительную погрешность приближенного значения x, записанного в виде $x = a \cdot 10^n$:

1) $x \approx 34,58 \cdot 10^8;$

2) $x \approx 5,93 \cdot 10^7;$

3) $x \approx 2,75 \cdot 10^{-5};$

4) $x \approx 11,55 \cdot 10^0;$

5) $x \approx 25,18 \cdot 10^{-9};$

6) $x \approx 0,086 \cdot 10^{-8}.$

Относительная погрешность `\epsilon_x` приближенного значения `x`, записанного в виде `x \approx a \cdot 10^n`, определяется как отношение абсолютной погрешности `\Delta x` к модулю самого значения `|x|`, то есть `\epsilon_x = \frac{\Delta x}{|x|}`. Абсолютная погрешность `\Delta x` возникает из-за округления мантиссы `a`. Для `x \approx a \cdot 10^n`, абсолютная погрешность `\Delta x = \Delta a \cdot 10^n`, где `\Delta a` - абсолютная погрешность мантиссы. Следовательно, относительная погрешность `\epsilon_x` равна относительной погрешности мантиссы `a`: `\epsilon_x = \frac{\Delta a \cdot 10^n}{|a \cdot 10^n|} = \frac{\Delta a}{|a|}`. Граница абсолютной погрешности `\Delta a` принимается равной половине единицы последнего разряда, в котором указана мантисса `a`. Если последняя значащая цифра числа `a` находится в разряде с весом `h`, то `\Delta a \le \frac{h}{2}`. Ниже мы находим верхнюю границу для относительной погрешности в каждом случае.

1) В случае `x \approx 34,58 \cdot 10^8`, имеем мантиссу `a = 34,58`. Последняя значащая цифра (8) стоит в разряде сотых, поэтому вес этого разряда `h = 0,01`.

Граница абсолютной погрешности мантиссы `\Delta a \le \frac{h}{2} = \frac{0,01}{2} = 0,005`.

Тогда граница относительной погрешности `\epsilon_x` вычисляется как:

`\epsilon_x \le \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{0,005}{34,58} = \frac{5}{34580} = \frac{1}{6916}`.

В виде десятичной дроби и в процентах: `\frac{1}{6916} \approx 0,00014459... \approx 0,00014`. Это примерно `0,014\%`.

Ответ: `\epsilon_x \le \frac{1}{6916} \approx 0,014\%`.

2) Для `x \approx 5,93 \cdot 10^7`, мантисса `a = 5,93`. Последняя значащая цифра (3) стоит в разряде сотых, `h = 0,01`.

Граница абсолютной погрешности мантиссы `\Delta a \le \frac{0,01}{2} = 0,005`.

Граница относительной погрешности:

`\epsilon_x \le \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{0,005}{5,93} = \frac{5}{5930} = \frac{1}{1186}`.

`\frac{1}{1186} \approx 0,00084317... \approx 0,00084`, что составляет примерно `0,084\%`.

Ответ: `\epsilon_x \le \frac{1}{1186} \approx 0,084\%`.

3) Для `x \approx 2,75 \cdot 10^{-5}`, мантисса `a = 2,75`. Последняя значащая цифра (5) стоит в разряде сотых, `h = 0,01`.

Граница абсолютной погрешности мантиссы `\Delta a \le \frac{0,01}{2} = 0,005`.

Граница относительной погрешности:

`\epsilon_x \le \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{0,005}{2,75} = \frac{5}{2750} = \frac{1}{550}`.

`\frac{1}{550} \approx 0,001818... \approx 0,0018`, что составляет примерно `0,18\%`.

Ответ: `\epsilon_x \le \frac{1}{550} \approx 0,18\%`.

4) Для `x \approx 11,55 \cdot 10^0`, имеем `x \approx 11,55`. Мантисса `a = 11,55`. Последняя значащая цифра (5) стоит в разряде сотых, `h = 0,01`.

Граница абсолютной погрешности мантиссы `\Delta a \le \frac{0,01}{2} = 0,005`.

Граница относительной погрешности:

`\epsilon_x \le \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{0,005}{11,55} = \frac{5}{11550} = \frac{1}{2310}`.

`\frac{1}{2310} \approx 0,0004329... \approx 0,00043`, что составляет примерно `0,043\%`.

Ответ: `\epsilon_x \le \frac{1}{2310} \approx 0,043\%`.

5) Для `x \approx 25,18 \cdot 10^{-9}`, мантисса `a = 25,18`. Последняя значащая цифра (8) стоит в разряде сотых, `h = 0,01`.

Граница абсолютной погрешности мантиссы `\Delta a \le \frac{0,01}{2} = 0,005`.

Граница относительной погрешности:

`\epsilon_x \le \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{0,005}{25,18} = \frac{5}{25180} = \frac{1}{5036}`.

`\frac{1}{5036} \approx 0,00019857... \approx 0,00020`, что составляет примерно `0,020\%`.

Ответ: `\epsilon_x \le \frac{1}{5036} \approx 0,020\%`.

6) Для `x \approx 0,086 \cdot 10^{-8}`, мантисса `a = 0,086`. Последняя значащая цифра (6) стоит в разряде тысячных, `h = 0,001`.

Граница абсолютной погрешности мантиссы `\Delta a \le \frac{0,001}{2} = 0,0005`.

Граница относительной погрешности:

`\epsilon_x \le \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{0,0005}{0,086} = \frac{0,5}{86} = \frac{5}{860} = \frac{1}{172}`.

`\frac{1}{172} \approx 0,0058139... \approx 0,0058`, что составляет примерно `0,58\%`.

Ответ: `\epsilon_x \le \frac{1}{172} \approx 0,58\%`.