Номер 10.12, страница 82 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.12. Представьте одночлен в виде квадрата другого одночлена:

1) $16a^6;$

2) $100m^8n^4;$

3) $\frac{25}{81}x^6y^{12};$

4) $\frac{169}{225}a^{10}b^2;$

5) $3,24m^4p^{14};$

6) $0,0289 \frac{x^{20}}{y^{18}}.$

1) Чтобы представить одночлен $16a^6$ в виде квадрата другого одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходный. Для этого извлечем квадратный корень из числового коэффициента и разделим показатель степени переменной на 2.

Корень из коэффициента: $\sqrt{16} = 4$.

Новый показатель степени для переменной $a$: $6 \div 2 = 3$.

Таким образом, искомый одночлен — это $4a^3$. Представим исходный одночлен в виде его квадрата: $16a^6 = (4a^3)^2$.

Проверка: $(4a^3)^2 = 4^2 \cdot (a^3)^2 = 16a^{3 \cdot 2} = 16a^6$.

Ответ: $(4a^3)^2$.

2) Для одночлена $100m^8n^4$ извлечем квадратный корень из коэффициента и разделим показатели степеней переменных на 2.

Корень из коэффициента: $\sqrt{100} = 10$.

Новый показатель для $m$: $8 \div 2 = 4$.

Новый показатель для $n$: $4 \div 2 = 2$.

Получаем одночлен $10m^4n^2$. Исходный одночлен в виде квадрата: $100m^8n^4 = (10m^4n^2)^2$.

Проверка: $(10m^4n^2)^2 = 10^2 \cdot (m^4)^2 \cdot (n^2)^2 = 100m^{4 \cdot 2}n^{2 \cdot 2} = 100m^8n^4$.

Ответ: $(10m^4n^2)^2$.

3) Для одночлена $\frac{25}{81}x^6y^{12}$ извлечем квадратный корень из дроби и разделим показатели степеней на 2.

Корень из коэффициента: $\sqrt{\frac{25}{81}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}} = \frac{5}{9}$.

Новый показатель для $x$: $6 \div 2 = 3$.

Новый показатель для $y$: $12 \div 2 = 6$.

Получаем одночлен $\frac{5}{9}x^3y^6$. Исходный одночлен в виде квадрата: $\frac{25}{81}x^6y^{12} = (\frac{5}{9}x^3y^6)^2$.

Проверка: $(\frac{5}{9}x^3y^6)^2 = (\frac{5}{9})^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^6)^2 = \frac{25}{81}x^{3 \cdot 2}y^{6 \cdot 2} = \frac{25}{81}x^6y^{12}$.

Ответ: $(\frac{5}{9}x^3y^6)^2$.

4) Для одночлена $\frac{169}{225}a^{10}b^2$ извлечем квадратный корень из коэффициента и разделим показатели степеней на 2.

Корень из коэффициента: $\sqrt{\frac{169}{225}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{225}} = \frac{13}{15}$.

Новый показатель для $a$: $10 \div 2 = 5$.

Новый показатель для $b$: $2 \div 2 = 1$.

Получаем одночлен $\frac{13}{15}a^5b$. Исходный одночлен в виде квадрата: $\frac{169}{225}a^{10}b^2 = (\frac{13}{15}a^5b)^2$.

Проверка: $(\frac{13}{15}a^5b)^2 = (\frac{13}{15})^2 \cdot (a^5)^2 \cdot b^2 = \frac{169}{225}a^{5 \cdot 2}b^2 = \frac{169}{225}a^{10}b^2$.

Ответ: $(\frac{13}{15}a^5b)^2$.

5) Для одночлена $3,24m^4p^{14}$ извлечем квадратный корень из коэффициента и разделим показатели степеней на 2.

Корень из коэффициента: $\sqrt{3,24} = 1,8$.

Новый показатель для $m$: $4 \div 2 = 2$.

Новый показатель для $p$: $14 \div 2 = 7$.

Получаем одночлен $1,8m^2p^7$. Исходный одночлен в виде квадрата: $3,24m^4p^{14} = (1,8m^2p^7)^2$.

Проверка: $(1,8m^2p^7)^2 = 1,8^2 \cdot (m^2)^2 \cdot (p^7)^2 = 3,24m^{2 \cdot 2}p^{7 \cdot 2} = 3,24m^4p^{14}$.

Ответ: $(1,8m^2p^7)^2$.

6) Для выражения $0,0289\frac{x^{20}}{y^{18}}$ извлечем квадратный корень из коэффициента и разделим показатели степеней переменных на 2.

Корень из коэффициента: $\sqrt{0,0289} = 0,17$.

Новый показатель для $x$: $20 \div 2 = 10$.

Новый показатель для $y$: $18 \div 2 = 9$.

Получаем выражение $\frac{0,17x^{10}}{y^9}$. Исходное выражение в виде квадрата: $0,0289\frac{x^{20}}{y^{18}} = (0,17\frac{x^{10}}{y^9})^2$.

Проверка: $(0,17\frac{x^{10}}{y^9})^2 = \frac{0,17^2 \cdot (x^{10})^2}{(y^9)^2} = 0,0289\frac{x^{20}}{y^{18}}$.

Ответ: $(0,17\frac{x^{10}}{y^9})^2$.