Номер 10.17, страница 82 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.17. Поставьте между одночленами один из знаков “=”, “<”, “>” так, чтобы получилось равенство или неравенство, верное при любых положительных значениях $\text{a}$:

1) $(-3a^4)^3$ и $(3a^4)^3;$

2) $(-5a^5)^8$ и $(5a^5)^8;$

3) $(-4a^4)^{10}$ и $(4a^4)^{10};$

4) $(-6(-a^6))^5$ и $(6(-a^6))^5.$

1) $(-3a^4)^3$ и $(3a^4)^3$

Для сравнения данных одночленов, необходимо их упростить. Для этого воспользуемся свойствами степеней: $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.

Упростим первый одночлен: $(-3a^4)^3 = (-3)^3 \cdot (a^4)^3 = -27 \cdot a^{4 \cdot 3} = -27a^{12}$.

Упростим второй одночлен: $(3a^4)^3 = 3^3 \cdot (a^4)^3 = 27 \cdot a^{4 \cdot 3} = 27a^{12}$.

Теперь сравним полученные выражения $-27a^{12}$ и $27a^{12}$. Согласно условию, переменная $a$ принимает любые положительные значения ($a>0$). При возведении положительного числа в любую степень результат также будет положительным, следовательно, $a^{12} > 0$.

Произведение отрицательного числа $(-27)$ и положительного числа $(a^{12})$ будет отрицательным: $-27a^{12} < 0$. Произведение положительного числа $(27)$ и положительного числа $(a^{12})$ будет положительным: $27a^{12} > 0$. Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому $-27a^{12} < 27a^{12}$.

Ответ: $(-3a^4)^3 < (3a^4)^3$.

2) $(-5a^5)^8$ и $(5a^5)^8$

Упростим оба одночлена.

Первый одночлен: $(-5a^5)^8 = (-5)^8 \cdot (a^5)^8$. Так как показатель степени 8 является чётным числом, то $(-5)^8 = 5^8$. Таким образом, выражение равно $5^8 \cdot a^{5 \cdot 8} = 5^8a^{40}$.

Второй одночлен: $(5a^5)^8 = 5^8 \cdot (a^5)^8 = 5^8 \cdot a^{5 \cdot 8} = 5^8a^{40}$.

Сравнивая результаты, видим, что оба выражения тождественно равны. Это следует из свойства $(-x)^{2n} = x^{2n}$ для любого чётного показателя степени $2n$.

Ответ: $(-5a^5)^8 = (5a^5)^8$.

3) $(-4a^4)^{10}$ и $(4a^4)^{10}$

Упростим оба одночлена.

Первый одночлен: $(-4a^4)^{10} = (-4)^{10} \cdot (a^4)^{10}$. Так как показатель степени 10 является чётным числом, то $(-4)^{10} = 4^{10}$. Таким образом, выражение равно $4^{10} \cdot a^{4 \cdot 10} = 4^{10}a^{40}$.

Второй одночлен: $(4a^4)^{10} = 4^{10} \cdot (a^4)^{10} = 4^{10} \cdot a^{4 \cdot 10} = 4^{10}a^{40}$.

Полученные выражения идентичны.

Ответ: $(-4a^4)^{10} = (4a^4)^{10}$.

4) $(-6(-a^6))^5$ и $(6(-a^6))^5$

Сначала выполним действия внутри скобок для каждого выражения, а затем возведем в степень.

Упростим первый одночлен: Сначала выражение в скобках: $-6(-a^6) = 6a^6$. Теперь возводим в степень: $(6a^6)^5 = 6^5 \cdot (a^6)^5 = 6^5a^{30}$.

Упростим второй одночлен: Сначала выражение в скобках: $6(-a^6) = -6a^6$. Теперь возводим в степень: $(-6a^6)^5 = (-6)^5 \cdot (a^6)^5$. Так как показатель степени 5 является нечётным числом, то $(-6)^5 = -6^5$. Таким образом, выражение равно $-6^5a^{30}$.

Сравним полученные выражения: $6^5a^{30}$ и $-6^5a^{30}$. Поскольку $a>0$, то и $a^{30}>0$. Выражение $6^5a^{30}$ является произведением положительных чисел, значит, оно положительно. Выражение $-6^5a^{30}$ является произведением отрицательного и положительного чисел, значит, оно отрицательно. Положительное число всегда больше отрицательного, поэтому $6^5a^{30} > -6^5a^{30}$.

Ответ: $(-6(-a^6))^5 > (6(-a^6))^5$.