Номер 10.16, страница 82 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.16. Упростите выражение $(a^5b^3)^6 \cdot (a^7b^4)^5 : (a^{21}b^{12})^3$ и найдите его значение при $a = -\frac{5}{11}$ и $b = 3\frac{2}{3}$.

Первым шагом упростим данное алгебраическое выражение. Для этого воспользуемся свойствами степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются ($(x^m)^n = x^{mn}$), при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$), а при делении – вычитаются ($x^m : x^n = x^{m-n}$).

Исходное выражение: $(a^5b^3)^6 \cdot (a^7b^4)^5 : (a^{21}b^{12})^3$.

1. Раскроем скобки в каждом множителе, возводя в степень каждый сомножитель внутри скобок:

$(a^5b^3)^6 = a^{5 \cdot 6}b^{3 \cdot 6} = a^{30}b^{18}$

$(a^7b^4)^5 = a^{7 \cdot 5}b^{4 \cdot 5} = a^{35}b^{20}$

$(a^{21}b^{12})^3 = a^{21 \cdot 3}b^{12 \cdot 3} = a^{63}b^{36}$

2. Подставим полученные результаты обратно в выражение и выполним действия умножения и деления:

$(a^{30}b^{18}) \cdot (a^{35}b^{20}) : (a^{63}b^{36})$

Сначала выполним умножение, сложив показатели степеней для одинаковых оснований:

$a^{30}b^{18} \cdot a^{35}b^{20} = a^{30+35}b^{18+20} = a^{65}b^{38}$

Теперь выполним деление, вычитая показатели степеней:

$a^{65}b^{38} : a^{63}b^{36} = a^{65-63}b^{38-36} = a^2b^2$

Упрощенное выражение – $a^2b^2$, которое также можно записать как $(ab)^2$.

Вторым шагом найдем значение этого выражения при заданных $a = -\frac{5}{11}$ и $b = 3\frac{2}{3}$.

1. Переведем смешанное число $b$ в неправильную дробь:

$b = 3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$

2. Подставим числовые значения $a$ и $b$ в упрощенное выражение $(ab)^2$:

$(ab)^2 = \left(\left(-\frac{5}{11}\right) \cdot \left(\frac{11}{3}\right)\right)^2$

3. Вычислим произведение в скобках. Сократим $11$ в числителе и знаменателе:

$\left(-\frac{5}{11}\right) \cdot \left(\frac{11}{3}\right) = -\frac{5}{3}$

4. Возведем полученный результат в квадрат:

$\left(-\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{(-5)^2}{3^2} = \frac{25}{9}$

5. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$

Ответ: $2\frac{7}{9}$