Вопрос критерии успеха, страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Что такое многочлен, его степень и стандартный вид?

Что такое многочлен?

Многочлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму нескольких одночленов. Одночленом, в свою очередь, называется произведение чисел, переменных и их натуральных степеней. Члены многочлена – это одночлены, из которых он состоит.

Например, выражение $5x^3 - 2xy^2 + 7x - 4$ является многочленом. Его членами являются одночлены $5x^3$, $-2xy^2$, $7x$ и $-4$.

Числа, переменные, а также один-единственный одночлен также считаются частными случаями многочлена.

Примеры многочленов:

• $3a^2 + 5ab - b^2$

• $7x^4y - 3x^2y^2 + 9$

• $8m$ (многочлен, состоящий из одного члена)

• $15$ (многочлен, состоящий из одного члена-числа)

Ответ: Многочлен — это сумма одночленов.

Степень многочлена

Степенью многочлена называют степень, которую он имеет после приведения к стандартному виду. Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней входящих в него одночленов.

Чтобы найти степень многочлена, нужно:

1. Убедиться, что многочлен приведен к стандартному виду.

2. Найти степень каждого одночлена (члена) многочлена. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Степень числа, отличного от нуля, равна 0.

3. Выбрать наибольшую из этих степеней. Это и будет степень многочлена.

Пример. Найдем степень многочлена $P(x, y) = 6x^4y^2 - 3x^3y^5 + 2xy - 1$.

• Степень члена $6x^4y^2$ равна $4+2=6$.

• Степень члена $-3x^3y^5$ равна $3+5=8$.

• Степень члена $2xy$ равна $1+1=2$.

• Степень члена $-1$ равна $0$.

Наибольшая из этих степеней — 8. Следовательно, степень всего многочлена равна 8.

Важно помнить, что степень определяется для многочлена в стандартном виде. Например, многочлен $x^2 + 3x - x^2$ имеет степень 1, а не 2, так как после приведения подобных слагаемых он становится равным $3x$, а степень одночлена $3x$ равна 1.

Ответ: Степень многочлена – это наибольшая из степеней его членов после приведения многочлена к стандартному виду.

Стандартный вид многочлена

Многочлен записан в стандартном виде, если:

1. Все входящие в него одночлены (члены) записаны в стандартном виде. Одночлен в стандартном виде — это произведение числового множителя (коэффициента), стоящего на первом месте, и переменных в различных степенях, например, $5a^2b^3$.

2. Среди его членов нет подобных. Подобные члены — это одночлены с одинаковой буквенной частью, например, $2x^2y$ и $-7x^2y$.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду (стандартизировать его), нужно выполнить два шага:

1. Привести каждый член многочлена к стандартному виду.

2. Привести подобные члены (сложить или вычесть их коэффициенты).

Для удобства члены многочлена стандартного вида принято располагать в порядке убывания их степеней.

Пример. Приведем к стандартному виду многочлен $2a^2b \cdot 3a - 5b \cdot a^3 + 10a \cdot (-0.5ab) + 3a^3b$.

1. Стандартизируем каждый член:

$2a^2b \cdot 3a = 6a^3b$

$-5b \cdot a^3 = -5a^3b$

$10a \cdot (-0.5ab) = -5a^2b$

$3a^3b$ уже в стандартном виде.

Получаем многочлен: $6a^3b - 5a^3b - 5a^2b + 3a^3b$.

2. Приводим подобные члены. Подобными являются $6a^3b$, $-5a^3b$ и $3a^3b$.

$(6 - 5 + 3)a^3b = 4a^3b$.

Член $-5a^2b$ подобных не имеет.

В итоге получаем многочлен $4a^3b - 5a^2b$. Это и есть стандартный вид исходного многочлена. Члены в нем расположены по убыванию степеней (степень $4a^3b$ равна 4, степень $-5a^2b$ равна 3).

Ответ: Стандартный вид многочлена — это его запись в виде суммы одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных.