Номер 10.13, страница 82 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.13. Выпишите выражения, которые можно представить в виде квадрата и в виде куба одночлена, содержащие степени с натуральным показателем:

1) $a^{13}b^{30}$;

2) $n^6m^{18}k^9$;

3) $x^{24}y^{16}z^{20}$;

4) $0,16a^2b^6$;

5) $216a^6b^6$;

6) $729a^{15}c^9$.

Для того чтобы выражение можно было представить одновременно в виде квадрата и в виде куба одночлена, необходимо выполнение следующих условий:

1. Все показатели степеней переменных должны быть кратны 2 (для представления в виде квадрата) и 3 (для представления в виде куба) одновременно. Это означает, что все показатели должны быть кратны Наименьшему Общему Кратному чисел 2 и 3, то есть $НОК(2, 3) = 6$.
2. Числовой коэффициент должен быть представим в виде квадрата и в виде куба. Для представления в виде куба одночлена с рациональным коэффициентом, исходный коэффициент должен быть полным кубом рационального числа. Для представления в виде квадрата, достаточно чтобы коэффициент был положительным (так как квадратный корень можно извлечь из любого положительного числа, даже если результат будет иррациональным). Таким образом, мы ищем выражения, у которых все показатели степеней кратны 6, а коэффициент является положительным числом и одновременно полным кубом.

Проверим каждое из данных выражений на соответствие этим условиям.

1) $a^{13}b^{30}$;

Проанализируем показатели степеней. Показатель степени переменной a равен 13. Число 13 не делится на 6. Следовательно, данное выражение не удовлетворяет первому условию.

Ответ: не подходит.

2) $n^6m^{18}k^9$;

Проанализируем показатели степеней. Показатели 6 и 18 кратны 6. Однако показатель степени переменной k равен 9. Число 9 не делится на 6. Следовательно, данное выражение не удовлетворяет первому условию.

Ответ: не подходит.

3) $x^{24}y^{16}z^{20}$;

Проанализируем показатели степеней. Показатель степени переменной x равен 24 (кратно 6). Однако показатели степеней у переменных y (16) и z (20) не делятся на 6. Следовательно, данное выражение не удовлетворяет первому условию.

Ответ: не подходит.

4) $0,16a^2b^6$;

Проанализируем показатели степеней. Показатель степени переменной a равен 2. Число 2 не делится на 6. Кроме того, коэффициент $0,16$ не является полным кубом рационального числа. Следовательно, выражение не удовлетворяет обоим условиям.

Ответ: не подходит.

5) $216a^6b^6$;

Проанализируем показатели степеней. Показатели у переменных a и b равны 6, что кратно 6. Проверим коэффициент 216. Он положительный и является полным кубом, так как $216 = 6^3$. Оба условия выполнены.

Это выражение можно представить в виде квадрата: $216a^6b^6 = (\sqrt{216}a^3b^3)^2 = (6\sqrt{6}a^3b^3)^2$.

И в виде куба: $216a^6b^6 = (6a^2b^2)^3$.

Ответ: подходит.

6) $7,296a^{15}c^9$.

Проанализируем показатели степеней. Показатели степеней у переменных a (15) и c (9) не делятся на 6. Следовательно, данное выражение не удовлетворяет первому условию.

Ответ: не подходит.

Таким образом, единственное выражение, которое можно представить в виде квадрата и в виде куба одночлена, это:

$216a^6b^6$