Вопросы для закрепления, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Можно ли одночлен представить как выражение, состоящее только из произведения числа и степени с натуральным показателем? Ответ объясните.

2. Правильно ли следующее определение одночлена: "Одночленом называется всякое выражение, в котором последним по порядку действием является не сложение и не вычитание"? Ответ объясните.

3. Верно ли:

1) любой одночлен является выражением;

2) любое выражение является одночленом?

1. Нет, не всегда. Определение одночлена шире, чем предложенное выражение.

Во-первых, одночленом может быть просто число, например, 7. Если пытаться представить его в виде «произведения числа и степени с натуральным показателем», то для сохранения равенства пришлось бы использовать степень с показателем 0 (например, $7 \cdot x^0$), а 0 не является натуральным числом.

Во-вторых, одночлен может содержать произведение степеней нескольких переменных, например, $5a^2b^3c$. Это выражение является произведением числа и нескольких степеней с натуральными показателями, а не одной, как предложено в вопросе.

Ответ: Нет, нельзя, так как предложенное представление не охватывает все виды одночленов.

2. Нет, данное определение не является правильным. Оно слишком широкое и ошибочно включает в себя выражения, которые не являются одночленами. По определению, одночлен — это произведение чисел и переменных, возведенных в неотрицательную целую степень. В одночлене не может быть деления на переменную или извлечения корня из переменной.

Приведем контрпримеры для предложенного определения, в которых последним действием не является сложение или вычитание, но которые не являются одночленами:

1. Выражение $\frac{a}{b}$. Последнее действие — деление, но это не одночлен.

2. Выражение $3(x+y)$. Последнее действие — умножение. Однако после раскрытия скобок получаем $3x+3y$, что является многочленом, а не одночleном.

3. Выражение $\sqrt{x}$. Последнее действие — извлечение корня. Это выражение можно записать как $x^{\frac{1}{2}}$, и оно не является одночленом, так как показатель степени не является целым числом.

Ответ: Нет, определение неправильное.

3. 1) любой одночлен является выражением;

Да, это утверждение верно. Математическое выражение — это любая запись, состоящая из чисел, букв (переменных) и знаков математических операций, имеющая смысл. Одночлен (например, $7x^3y$) полностью соответствует этому определению. Таким образом, одночлен является частным случаем математического выражения.

Ответ: Да, верно.

2) любое выражение является одночленом?

Нет, это утверждение неверно. Понятие «математическое выражение» гораздо шире понятия «одночлен». Существует бесконечное множество выражений, которые не являются одночленами. Например, выражения $a+b$ (сумма, многочлен), $\frac{x}{y}$ (дробно-рациональное выражение) или $\sin(x)$ (тригонометрическое выражение) являются математическими выражениями, но не являются одночленами.

Ответ: Нет, неверно.