Вопросы для закрепления, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какие преобразования используют при сложении и вычитании многочленов?

2. Может ли в результате сложения или вычитания многочленов получиться: 1) число; 2) одночлен? Если да, то приведите пример.

3. Назовите многочлен, противоположный многочлену $2x^2 - 7xy + y^2$.

1. При сложении и вычитании многочленов используются два основных алгебраических преобразования в следующем порядке:

1. Раскрытие скобок. Каждый многочлен заключается в скобки, и между ними ставится знак «+» (при сложении) или «-» (при вычитании). Затем скобки раскрываются. Если перед скобками стоит знак «+», то знаки одночленов внутри скобок сохраняются. Если стоит знак «-», то знаки всех одночленов внутри скобок меняются на противоположные.

2. Приведение подобных слагаемых (членов). После раскрытия скобок получается новый многочлен. В нем находят подобные члены, то есть одночлены с одинаковой буквенной частью (например, $3x^2y$ и $-5x^2y$), и выполняют с их коэффициентами арифметические действия сложения или вычитания.

Например, найдем разность многочленов $(5a^2 + 4ab)$ и $(2a^2 - ab)$:

$(5a^2 + 4ab) - (2a^2 - ab) = 5a^2 + 4ab - 2a^2 + ab$ (раскрытие скобок)

$= (5a^2 - 2a^2) + (4ab + ab) = 3a^2 + 5ab$ (приведение подобных слагаемых)

Ответ: Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.

2. Да, в результате сложения или вычитания многочленов может получиться как число, так и одночлен.

1) число: Да, может. Это происходит в том случае, если в результате приведения подобных слагаемых все члены, содержащие переменные, взаимно уничтожаются (их сумма равна нулю), а свободные члены (числа) остаются.

Пример: Найдем разность многочленов $(x^2 + 10)$ и $(x^2 + 3)$.

$(x^2 + 10) - (x^2 + 3) = x^2 + 10 - x^2 - 3 = (x^2 - x^2) + (10 - 3) = 0 + 7 = 7$.

В результате получилось число 7.

2) одночлен: Да, может. Это происходит, когда после приведения подобных слагаемых остается только один ненулевой член.

Пример: Найдем сумму многочленов $(5xy + 8z)$ и $(2xy - 8z)$.

$(5xy + 8z) + (2xy - 8z) = 5xy + 8z + 2xy - 8z = (5xy + 2xy) + (8z - 8z) = 7xy + 0 = 7xy$.

В результате получился одночлен $7xy$.

Ответ: Да, может получиться и число, и одночлен. Пример для числа: $(a+5)-(a) = 5$. Пример для одночлена: $(2b+c) + (3b-c) = 5b$.

3. Многочленом, противоположным данному, называется такой многочлен, сумма которого с исходным многочленом равна нулю. Чтобы найти противоположный многочлен, необходимо у каждого его члена изменить знак на противоположный.

Исходный многочлен: $2x^2 - 7xy + y^2$.

Он состоит из трех членов: $2x^2$, $-7xy$ и $y^2$.

Изменим знак каждого члена:

- Знак члена $2x^2$ (положительный) меняется на отрицательный: $-2x^2$.

- Знак члена $-7xy$ (отрицательный) меняется на положительный: $+7xy$.

- Знак члена $y^2$ (положительный) меняется на отрицательный: $-y^2$.

Таким образом, противоположный многочлен имеет вид: $-2x^2 + 7xy - y^2$.

Ответ: $-2x^2 + 7xy - y^2$.