Номер 13.16, страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.16. Решите уравнение:

1) $(x+10)(x-9) - (x-8)^2 = 0;$

2) $(x + 11)(x + 9)-(x-3)(x + 40) = 0;$

3) $(x-6)(7 + x) + (3 - x)(3 + x) = 0;$

4) $(x - 4)(4 + x) - (1-x)(9 - x) = 0.$

1) $(x+10)(x-9) - (x-8)^2 = 0$

Для решения уравнения необходимо раскрыть скобки. Первое слагаемое раскроем как произведение двух многочленов, а второе — по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x+10)(x-9) = x^2 - 9x + 10x - 90 = x^2 + x - 90$

$(x-8)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = x^2 - 16x + 64$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(x^2 + x - 90) - (x^2 - 16x + 64) = 0$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$x^2 + x - 90 - x^2 + 16x - 64 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (x + 16x) + (-90 - 64) = 0$

$17x - 154 = 0$

Это линейное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$17x = 154$

Найдем $x$:

$x = \frac{154}{17}$

Ответ: $x = \frac{154}{17}$.

2) $(x+11)(x+9) - (x-3)(x+40) = 0$

Раскроем скобки в каждом произведении:

$(x+11)(x+9) = x^2 + 9x + 11x + 99 = x^2 + 20x + 99$

$(x-3)(x+40) = x^2 + 40x - 3x - 120 = x^2 + 37x - 120$

Подставим полученные многочлены в уравнение:

$(x^2 + 20x + 99) - (x^2 + 37x - 120) = 0$

Раскроем скобки, меняя знаки во втором многочлене:

$x^2 + 20x + 99 - x^2 - 37x + 120 = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (20x - 37x) + (99 + 120) = 0$

$-17x + 219 = 0$

Перенесем слагаемое, содержащее $x$, в правую часть уравнения:

$219 = 17x$

Найдем $x$:

$x = \frac{219}{17}$

Ответ: $x = \frac{219}{17}$.

3) $(x-6)(7+x) + (3-x)(3+x) = 0$

В данном уравнении раскроем скобки. Для второго слагаемого применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

$(x-6)(7+x) = (x-6)(x+7) = x^2 + 7x - 6x - 42 = x^2 + x - 42$

$(3-x)(3+x) = 3^2 - x^2 = 9 - x^2$

Подставим результаты в исходное уравнение:

$(x^2 + x - 42) + (9 - x^2) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + x - 42 + 9 - x^2 = 0$

$(x^2 - x^2) + x + (-42 + 9) = 0$

$x - 33 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$x = 33$

Ответ: $x = 33$.

4) $(x-4)(4+x) - (1-x)(9-x) = 0$

Для первого слагаемого применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. Второе слагаемое раскроем как произведение многочленов.

$(x-4)(4+x) = (x-4)(x+4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$

$(1-x)(9-x) = 1 \cdot 9 + 1 \cdot (-x) - x \cdot 9 - x \cdot (-x) = 9 - x - 9x + x^2 = x^2 - 10x + 9$

Подставим раскрытые выражения в уравнение:

$(x^2 - 16) - (x^2 - 10x + 9) = 0$

Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:

$x^2 - 16 - x^2 + 10x - 9 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + 10x + (-16 - 9) = 0$

$10x - 25 = 0$

Перенесем числовой член в правую часть:

$10x = 25$

Найдем $x$:

$x = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: $x = 2.5$.