Номер 13.18, страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.18. Докажите тождество:

1) $b(b - 4) + (b - 8)(b + 9) - 2(b - 3)^2 = 9b - 90;$

2) $(c + 2)^2 - (c - 4)(3 - c) - 0.5(4c^2 - 1) = 16.5 - 3c;$

3) $(d - 4)(d^2 + d + 1) - d(d^2 - 3) = -3d^2 - 4;$

4) $(k + 7)(k - 6) - 2(k - 2)^2 + (k - 3)^2 = 3k - 41.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.

$b(b - 4) + (b - 8)(b + 9) - 2(b - 3)²$

Раскроем скобки:

$b \cdot b - b \cdot 4 + (b \cdot b + b \cdot 9 - 8 \cdot b - 8 \cdot 9) - 2(b^2 - 2 \cdot b \cdot 3 + 3^2) =$

$= b^2 - 4b + (b^2 + 9b - 8b - 72) - 2(b^2 - 6b + 9) =$

$= b^2 - 4b + b^2 + b - 72 - 2b^2 + 12b - 18$

Приведем подобные слагаемые:

$(b^2 + b^2 - 2b^2) + (-4b + b + 12b) + (-72 - 18) = 0 \cdot b^2 + 9b - 90 = 9b - 90$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой: $9b - 90 = 9b - 90$.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.

$(c + 2)² - (с – 4)(3 – с) – 0,5(4c² - 1)$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и правило умножения многочленов:

$(c^2 + 2 \cdot c \cdot 2 + 2^2) - (c \cdot 3 - c \cdot c - 4 \cdot 3 + 4 \cdot c) - (0,5 \cdot 4c^2 - 0,5 \cdot 1) =$

$= (c^2 + 4c + 4) - (3c - c^2 - 12 + 4c) - (2c^2 - 0,5) =$

$= c^2 + 4c + 4 - (-c^2 + 7c - 12) - 2c^2 + 0,5 =$

$= c^2 + 4c + 4 + c^2 - 7c + 12 - 2c^2 + 0,5$

Приведем подобные слагаемые:

$(c^2 + c^2 - 2c^2) + (4c - 7c) + (4 + 12 + 0,5) = 0 \cdot c^2 - 3c + 16,5 = 16,5 - 3c$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой: $16,5 - 3c = 16,5 - 3c$.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.

$(d – 4)(d² + d + 1) - d(d² – 3)$

Раскроем скобки:

$(d \cdot d^2 + d \cdot d + d \cdot 1 - 4 \cdot d^2 - 4 \cdot d - 4 \cdot 1) - (d \cdot d^2 - d \cdot 3) =$

$= (d^3 + d^2 + d - 4d^2 - 4d - 4) - (d^3 - 3d) =$

$= d^3 - 3d^2 - 3d - 4 - d^3 + 3d$

Приведем подобные слагаемые:

$(d^3 - d^3) - 3d^2 + (-3d + 3d) - 4 = 0 \cdot d^3 - 3d^2 + 0 - 4 = -3d^2 - 4$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой: $-3d^2 - 4 = -3d^2 - 4$.

Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.

$(k + 7)(k - 6) - 2(k - 2)² + (k - 3)²$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$(k^2 - 6k + 7k - 42) - 2(k^2 - 2 \cdot k \cdot 2 + 2^2) + (k^2 - 2 \cdot k \cdot 3 + 3^2) =$

$= (k^2 + k - 42) - 2(k^2 - 4k + 4) + (k^2 - 6k + 9) =$

$= k^2 + k - 42 - 2k^2 + 8k - 8 + k^2 - 6k + 9$

Приведем подобные слагаемые:

$(k^2 - 2k^2 + k^2) + (k + 8k - 6k) + (-42 - 8 + 9) = 0 \cdot k^2 + 3k - 41 = 3k - 41$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой: $3k - 41 = 3k - 41$.

Ответ: Тождество доказано.