Вопрос критерии успеха, страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как одночлен и многочлен разделить на одночлен?

Для того чтобы разделить одночлен или многочлен на одночлен, используются разные, но связанные между собой правила. Рассмотрим оба случая по отдельности.

Деление одночлена на одночлен

Чтобы разделить один одночлен на другой, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разделить числовой коэффициент делимого на числовой коэффициент делителя.

2. Разделить переменные с одинаковыми основаниями. Для этого используется свойство степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$. То есть, из показателя степени переменной в делимом вычитается показатель степени той же переменной в делителе.

3. Перемножить полученные результаты.

Важно отметить, что деление одночлена на одночлен возможно без остатка (результатом будет новый одночлен) только в том случае, если:

а) делитель не содержит переменных, которых нет в делимом;

б) степень каждой переменной в делимом не меньше степени той же переменной в делителе.

Пример: Разделить одночлен $24x^5y^3z$ на одночлен $8x^2y^3$.

Решение:

Представим деление в виде дроби и сгруппируем коэффициенты и переменные:

$\frac{24x^5y^3z}{8x^2y^3} = (\frac{24}{8}) \cdot (\frac{x^5}{x^2}) \cdot (\frac{y^3}{y^3}) \cdot z$

Разделим коэффициенты: $24 : 8 = 3$.

Разделим переменные:

Для $x$: $\frac{x^5}{x^2} = x^{5-2} = x^3$.

Для $y$: $\frac{y^3}{y^3} = y^{3-3} = y^0 = 1$.

Для $z$: переменная $z$ есть только в числителе, поэтому она остается без изменений.

Собираем результат: $3 \cdot x^3 \cdot 1 \cdot z = 3x^3z$.

Ответ: $3x^3z$

Деление многочлена на одночлен

Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член этого многочлена разделить на данный одночлен, а полученные результаты сложить (или вычесть, в зависимости от знаков). Это правило следует из распределительного закона деления: $(a+b-c) : d = a:d + b:d - c:d$.

Пример: Разделить многочлен $(18a^4b^2 - 27a^3b^3 + 9a^2b)$ на одночлен $9a^2b$.

Решение:

Представим деление как частное каждого члена многочлена и делителя:

$(18a^4b^2 - 27a^3b^3 + 9a^2b) : (9a^2b) = \frac{18a^4b^2}{9a^2b} - \frac{27a^3b^3}{9a^2b} + \frac{9a^2b}{9a^2b}$

Теперь выполним деление для каждого члена, используя правило деления одночлена на одночлен:

1. $\frac{18a^4b^2}{9a^2b} = (\frac{18}{9}) \cdot a^{4-2} \cdot b^{2-1} = 2a^2b^1 = 2a^2b$

2. $\frac{27a^3b^3}{9a^2b} = (\frac{27}{9}) \cdot a^{3-2} \cdot b^{3-1} = 3a^1b^2 = 3ab^2$

3. $\frac{9a^2b}{9a^2b} = (\frac{9}{9}) \cdot a^{2-2} \cdot b^{1-1} = 1 \cdot a^0 \cdot b^0 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$. Важно помнить, что при делении выражения на само себя получается 1, а не 0.

Соединяем полученные результаты с учетом их знаков:

$2a^2b - 3ab^2 + 1$

Ответ: $2a^2b - 3ab^2 + 1$