Номер 13.19, страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.19. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

1) $(12.4 + 13.5) : 3$ и $12.4 : 3 + 13.5$;

2) $(5.1 - 0.34) : 1.7$ и $5.1 - 0.34 : 1.7$;

3) $(400 - 120) : 40$ и $400 : 40 - 120 : 40$.

1) Сравним выражения $(12,4 + 13,5) : 3$ и $12,4 : 3 + 13,5$.

Для анализа первого выражения применим распределительное свойство деления относительно сложения: $(a+b):c = a:c + b:c$.

$(12,4 + 13,5) : 3 = 12,4 : 3 + 13,5 : 3$.

Теперь задача сводится к сравнению выражений $12,4 : 3 + 13,5 : 3$ и $12,4 : 3 + 13,5$.

Оба выражения имеют общее слагаемое $12,4 : 3$. Следовательно, знак сравнения зависит от сравнения вторых слагаемых: $13,5 : 3$ и $13,5$.

Поскольку делитель $3$ больше $1$, частное от деления положительного числа $13,5$ на $3$ будет меньше самого числа $13,5$.

То есть, $13,5 : 3 < 13,5$.

Добавив к обеим частям неравенства одинаковое число $12,4 : 3$, получим:

$12,4 : 3 + 13,5 : 3 < 12,4 : 3 + 13,5$.

Таким образом, исходное первое выражение меньше второго.

Ответ: $(12,4 + 13,5) : 3 < 12,4 : 3 + 13,5$.

2) Сравним выражения $(5,1 – 0,34) : 1,7$ и $5,1 – 0,34 : 1,7$.

Используем распределительное свойство деления относительно вычитания для преобразования первого выражения: $(a-b):c = a:c - b:c$.

$(5,1 – 0,34) : 1,7 = 5,1 : 1,7 – 0,34 : 1,7$.

Теперь сравним преобразованное выражение $5,1 : 1,7 – 0,34 : 1,7$ со вторым выражением $5,1 – 0,34 : 1,7$.

В обоих выражениях одинаковый вычитаемый $0,34 : 1,7$. Значит, для сравнения достаточно сравнить уменьшаемые: $5,1 : 1,7$ и $5,1$.

Так как делитель $1,7$ больше $1$, частное от деления положительного числа $5,1$ на $1,7$ будет меньше самого числа $5,1$.

Следовательно, $5,1 : 1,7 < 5,1$.

Если из меньшего числа вычесть то же самое значение, что и из большего, то результат также будет меньше.

Значит, $5,1 : 1,7 – 0,34 : 1,7 < 5,1 – 0,34 : 1,7$.

Ответ: $(5,1 – 0,34) : 1,7 < 5,1 – 0,34 : 1,7$.

3) Сравним выражения $(400 – 120) : 40$ и $400 : 40 – 120 : 40$.

Здесь мы также можем применить распределительное свойство деления относительно вычитания, которое гласит: $(a - b) : c = a : c - b : c$ (при $c \neq 0$).

Первое выражение, $(400 – 120) : 40$, является левой частью этого тождества, где $a=400$, $b=120$ и $c=40$.

Второе выражение, $400 : 40 – 120 : 40$, в точности совпадает с правой частью этого тождества.

Поскольку распределительное свойство является тождеством, левая и правая части равны для любых допустимых значений переменных.

Следовательно, значения данных выражений равны.

Ответ: $(400 – 120) : 40 = 400 : 40 – 120 : 40$.