Номер 23.4, страница 143 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.4. Запишите формулы двух линейных функций, графики которых:

а) пересекаются;

б) параллельны;

в) совпадают.

Линейная функция задается формулой вида $y = kx + b$. Взаимное расположение графиков двух линейных функций, заданных формулами $y_1 = k_1x + b_1$ и $y_2 = k_2x + b_2$, полностью определяется соотношениями между их угловыми коэффициентами $k_1, k_2$ и свободными членами $b_1, b_2$.

а) пересекаются

Графики двух линейных функций пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты различны. Это означает, что прямые имеют разный наклон. Математически это условие записывается как $k_1 \neq k_2$. Свободные члены $b_1$ и $b_2$ при этом могут быть любыми.

Приведем пример. Возьмем две функции, у которых угловые коэффициенты не равны друг другу: $k_1 = 3$ и $k_2 = -1$. Пусть свободные члены будут $b_1 = 2$ и $b_2 = 5$.

Получаем формулы: $y = 3x + 2$ и $y = -x + 5$. Так как $3 \neq -1$, графики этих функций пересекаются.

Ответ: $y = 3x + 2$ и $y = -x + 5$.

б) параллельны

Графики двух линейных функций параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны. Это означает, что прямые имеют одинаковый наклон, но не совпадают, так как проходят через разные точки на оси ординат. Математически это условие записывается как $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$.

Приведем пример. Возьмем две функции с одинаковыми угловыми коэффициентами, например $k_1 = k_2 = 2$. Свободные члены должны быть разными, например $b_1 = 1$ и $b_2 = -3$.

Получаем формулы: $y = 2x + 1$ и $y = 2x - 3$. Так как угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны, графики этих функций параллельны.

Ответ: $y = 2x + 1$ и $y = 2x - 3$.

в) совпадают

Графики двух линейных функций совпадают тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны и свободные члены также равны. По сути, это две одинаковые прямые. Математически это условие записывается как $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$.

Приведем пример. Возьмем две функции, у которых и угловые коэффициенты, и свободные члены соответственно равны. Например, пусть $k_1 = k_2 = -4$ и $b_1 = b_2 = 7$.

Получаем формулы: $y = -4x + 7$ и $y = -4x + 7$. Так как обе формулы абсолютно идентичны, их графики совпадают.

Ответ: $y = -4x + 7$ и $y = -4x + 7$.