Вопрос критерии успеха, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как по коэффициентам $\text{k}$ и $\text{b}$ линейных функций $y = kx + b$ установить их взаимное расположение?

Взаимное расположение графиков двух линейных функций, заданных уравнениями $y_1 = k_1x + b_1$ и $y_2 = k_2x + b_2$, полностью определяется соотношением их коэффициентов: углового коэффициента $k$, который отвечает за наклон прямой, и свободного члена $b$, который показывает точку пересечения прямой с осью ординат $OY$.

Существует три возможных варианта их взаимного расположения:

1. Графики функций пересекаются

Прямые пересекаются в одной точке, если их угловые коэффициенты различны. Это означает, что прямые имеют разный наклон и обязательно встретятся в какой-то одной точке на плоскости. Значения свободных членов $b_1$ и $b_2$ в данном случае влияют только на координаты точки пересечения, но не на сам факт пересечения. Частным случаем пересечения является перпендикулярность прямых, которая наступает при условии, что произведение их угловых коэффициентов равно -1 (то есть $k_1 \cdot k_2 = -1$).

Ответ: Графики пересекаются, если их угловые коэффициенты не равны: $k_1 \neq k_2$.

2. Графики функций параллельны

Прямые параллельны, если они имеют одинаковый наклон, но пересекают ось $OY$ в разных точках. Это означает, что их угловые коэффициенты должны быть равны, а свободные члены — различны. В этом случае прямые никогда не пересекутся, и расстояние между ними будет постоянным.

Ответ: Графики параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены не равны: $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$.

3. Графики функций совпадают

Прямые совпадают, если они фактически являются одной и той же прямой. Это происходит, когда у них одинаковый наклон и они пересекают ось $OY$ в одной и той же точке. Следовательно, и угловые коэффициенты, и свободные члены у таких функций должны быть соответственно равны. В этом случае все точки одной прямой принадлежат и другой.

Ответ: Графики совпадают, если их угловые коэффициенты и свободные члены равны: $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$.