Вопросы для закрепления, страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Могут ли графики двух линейных функций иметь:

1) только одну общую точку;

2) только две общие точки;

3) ни одной общей точки;

4) все общие точки?

2. В каком случае графики линейных функций $y = kx + b$ и $y = tx + m$ (где k, b, t, m – рациональные числа):

1) пересекаются;

2) параллельны;

3) совпадают?

3. Приведите примеры двух линейных функций, графики которых:

1) пересекаются;

2) параллельны;

3) совпадают.

1) только одну общую точку;

Да, могут. График линейной функции — это прямая линия. Две различные прямые на плоскости, которые не параллельны друг другу, пересекаются ровно в одной точке. Это наиболее частый случай взаимного расположения двух прямых.

Ответ: да.

2) только две общие точки;

Нет, не могут. Согласно основной аксиоме геометрии, через две любые различные точки на плоскости можно провести только одну прямую. Если бы графики двух линейных функций имели две общие точки, это означало бы, что обе прямые проходят через эти две точки. Следовательно, эти прямые должны были бы совпадать, а значит, иметь бесконечное множество общих точек, а не ровно две.

Ответ: нет.

3) ни одной общей точки;

Да, могут. Это происходит в том случае, когда графики функций являются параллельными, но не совпадающими прямыми. У них одинаковый наклон, но они проходят через разные точки на оси ординат.

Ответ: да.

4) все общие точки?

Да, могут. Это возможно, если графики функций полностью совпадают. То есть, когда две линейные функции являются на самом деле одной и той же функцией, возможно, записанной в разном виде (например, $y = 2x + 2$ и $y = 2(x+1)$). В этом случае каждая точка одной прямой является точкой и другой прямой.

Ответ: да.

1) пересекаются;

Графики линейных функций $y = kx + b$ и $y = tx + m$ пересекаются в одной точке, если их угловые коэффициенты (коэффициенты при $x$) не равны. Угловой коэффициент отвечает за наклон прямой. Если наклоны разные, прямые обязательно пересекутся.

Ответ: при $k \neq t$.

2) параллельны;

Графики параллельны, когда они имеют одинаковый наклон, но не совпадают. Это означает, что их угловые коэффициенты должны быть равны, а свободные члены (отвечающие за сдвиг по оси $y$) должны быть различны.

Ответ: при $k = t$ и $b \neq m$.

3) совпадают?

Графики совпадают, если они представляют собой одну и ту же прямую. Для этого необходимо, чтобы и угловые коэффициенты, и свободные члены у обеих функций были одинаковыми.

Ответ: при $k = t$ и $b = m$.

1) пересекаются;

Чтобы графики пересекались, нужно выбрать функции с разными угловыми коэффициентами (коэффициентами перед $x$). Например, $k=2$ и $t=-3$.

Ответ: например, $y = 2x + 5$ и $y = -3x + 1$.

2) параллельны;

Чтобы графики были параллельны, нужно выбрать функции с одинаковыми угловыми коэффициентами, но разными свободными членами. Например, $k=t=4$, а $b=1$ и $m=-2$.

Ответ: например, $y = 4x + 1$ и $y = 4x - 2$.

3) совпадают.

Чтобы графики совпадали, нужно, чтобы все коэффициенты у функций были одинаковыми. По сути, это одна и та же функция, записанная дважды.

Ответ: например, $y = -x + 7$ и $y = -x + 7$.