Номер 36.10, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.10. Двое рабочих вместе изготовили 678 деталей. Первый рабочий работал 8 дней, второй 11 дней. Найдите число деталей, изготовленных каждым рабочим за день, если второй за каждые 4 дня выполнял на 22 детали больше, чем первый за 3 дня.

Пусть $x$ — это количество деталей, которое первый рабочий изготавливает за один день, а $y$ — количество деталей, которое второй рабочий изготавливает за один день.

Из условия задачи известно, что первый рабочий работал 8 дней, а второй — 11 дней. Вместе они изготовили 678 деталей. Составим первое уравнение на основе этих данных:

$8x + 11y = 678$

Также в условии сказано, что второй рабочий за 4 дня изготавливал на 22 детали больше, чем первый за 3 дня. Это соотношение можно выразить вторым уравнением:

$4y = 3x + 22$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} 8x + 11y = 678 \\ 4y = 3x + 22 \end{cases} $

Решим эту систему. Для начала выразим переменную $x$ из второго уравнения:

$3x = 4y - 22$

$x = \frac{4y - 22}{3}$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$8 \left( \frac{4y - 22}{3} \right) + 11y = 678$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на 3:

$8(4y - 22) + 3 \cdot 11y = 678 \cdot 3$

Раскроем скобки и выполним умножение:

$32y - 176 + 33y = 2034$

Приведем подобные слагаемые:

$65y - 176 = 2034$

Перенесем -176 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$65y = 2034 + 176$

$65y = 2210$

Теперь найдем значение $y$:

$y = \frac{2210}{65} = 34$

Таким образом, второй рабочий изготавливает 34 детали в день.

Теперь, зная $y$, найдем значение $x$, подставив $y=34$ в выражение для $x$:

$x = \frac{4 \cdot 34 - 22}{3} = \frac{136 - 22}{3} = \frac{114}{3} = 38$

Следовательно, первый рабочий изготавливает 38 деталей в день.

Выполним проверку:

1. Общее количество деталей: $8 \cdot 38 + 11 \cdot 34 = 304 + 374 = 678$ деталей. Это соответствует условию.

2. Сравнение производительности: за 4 дня второй рабочий изготовит $4 \cdot 34 = 136$ деталей. За 3 дня первый рабочий изготовит $3 \cdot 38 = 114$ деталей. Разница составляет $136 - 114 = 22$ детали, что также соответствует условию.

Ответ: первый рабочий изготавливал 38 деталей в день, второй рабочий изготавливал 34 детали в день.