Номер 36.18, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.18. Если из числителя дроби вычесть 4, знаменатель умножить на 4, то получим $\frac{1}{12}$. Если же числитель дроби умножить на 2, а из знаменателя вычесть 2, то получим число 2. Найдите эту дробь.

Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель. Запишем условия задачи в виде системы уравнений.

1. Если из числителя дроби вычесть 4, а знаменатель умножить на 4, то получится $\frac{1}{12}$.

Это дает нам первое уравнение: $\frac{x-4}{4y} = \frac{1}{12}$

2. Если числитель дроби умножить на 2, а из знаменателя вычесть 2, то получится число 2.

Это дает нам второе уравнение: $\frac{2x}{y-2} = 2$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{x-4}{4y} = \frac{1}{12} \\ \frac{2x}{y-2} = 2 \end{cases}$

Упростим каждое уравнение. Начнем с первого. Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$12(x-4) = 4y$

Разделим обе части уравнения на 4:

$3(x-4) = y$

$y = 3x - 12$

Теперь упростим второе уравнение:

$2x = 2(y-2)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = y-2$

Теперь у нас есть упрощенная система:

$\begin{cases} y = 3x - 12 \\ x = y - 2 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x = (3x - 12) - 2$

$x = 3x - 14$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$14 = 3x - x$

$14 = 2x$

$x = \frac{14}{2}$

$x = 7$

Теперь, зная значение $x$, найдем $y$, подставив $x=7$ в уравнение $x = y - 2$:

$7 = y - 2$

$y = 7 + 2$

$y = 9$

Таким образом, искомая дробь — это $\frac{x}{y} = \frac{7}{9}$.

Проверим полученный результат, подставив значения в исходные условия:

1) $\frac{7-4}{4 \cdot 9} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$. Условие выполняется.

2) $\frac{2 \cdot 7}{9-2} = \frac{14}{7} = 2$. Условие выполняется.

Ответ: $\frac{7}{9}$