Номер 36.29, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.29. 1) Расстояние от пункта А до пункта В равно 180 км. Если автомобиль увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч он проедет больше 180 км. Если он уменьшит скорость на 20 км/ч, то даже за 3 ч не успеет доехать до пункта В. Какова скорость автомобиля?

2) Расстояние между двумя пристанями по озеру равно 36 км. Если моторная лодка увеличит скорость на 3 км/ч, то за 3 ч она проплывет более 36 км. Если же уменьшит на 2 км/ч, то за 4 ч еще не доплывет до пункта назначения. Какова скорость моторной лодки?

3) Расстояние между двумя мотоциклистами равно 7 км. Скорость одного из них равна 14 км/ч, другого — 16 км/ч. Через какое время расстояние между мотоциклистами будет равно 1 км, если: а) мотоциклисты движутся в одном направлении; б) мотоциклисты движутся в разных направлениях? (Рассмотрите все варианты.)

1) Пусть $v$ км/ч — собственная скорость автомобиля. По условию задачи можно составить систему неравенств.

Если автомобиль увеличит скорость на 20 км/ч, его скорость станет $(v + 20)$ км/ч. За 2 часа он проедет расстояние $2(v + 20)$ км, что больше 180 км. Получаем первое неравенство:

$2(v + 20) > 180$

Если автомобиль уменьшит скорость на 20 км/ч, его скорость станет $(v - 20)$ км/ч. За 3 часа он проедет расстояние $3(v - 20)$ км, что будет меньше 180 км, так как он не успеет доехать до пункта В. Получаем второе неравенство:

$3(v - 20) < 180$

Также необходимо учесть, что скорость после уменьшения должна быть положительной, то есть $v - 20 > 0$, откуда $v > 20$.

Решим полученную систему неравенств:

$\begin{cases} 2(v + 20) > 180 \\ 3(v - 20) < 180 \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$v + 20 > \frac{180}{2}$

$v + 20 > 90$

$v > 70$

Решаем второе неравенство:

$v - 20 < \frac{180}{3}$

$v - 20 < 60$

$v < 80$

Объединяя решения $v > 70$ и $v < 80$ (что также удовлетворяет условию $v > 20$), получаем, что скорость автомобиля $v$ находится в интервале $(70; 80)$ км/ч.

Ответ: скорость автомобиля больше 70 км/ч, но меньше 80 км/ч.

2) Пусть $v$ км/ч — собственная скорость моторной лодки. По условию задачи составляем систему неравенств.

Если лодка увеличит скорость на 3 км/ч, ее скорость станет $(v + 3)$ км/ч. За 3 часа она проплывет расстояние $3(v + 3)$ км, что более 36 км:

$3(v + 3) > 36$

Если лодка уменьшит скорость на 2 км/ч, ее скорость станет $(v - 2)$ км/ч. За 4 часа она проплывет расстояние $4(v - 2)$ км, что будет меньше 36 км, так как она не доплывет до пункта назначения:

$4(v - 2) < 36$

Скорость после уменьшения должна быть положительной: $v - 2 > 0$, откуда $v > 2$.

Решим полученную систему неравенств:

$\begin{cases} 3(v + 3) > 36 \\ 4(v - 2) < 36 \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$v + 3 > \frac{36}{3}$

$v + 3 > 12$

$v > 9$

Решаем второе неравенство:

$v - 2 < \frac{36}{4}$

$v - 2 < 9$

$v < 11$

Объединяя решения $v > 9$ и $v < 11$ (что удовлетворяет условию $v > 2$), получаем, что скорость моторной лодки $v$ находится в интервале $(9; 11)$ км/ч.

Ответ: скорость моторной лодки больше 9 км/ч, но меньше 11 км/ч.

3) Начальное расстояние между мотоциклистами $S_0 = 7$ км, конечное расстояние $S_f = 1$ км. Скорости мотоциклистов $v_1 = 14$ км/ч и $v_2 = 16$ км/ч.

а) мотоциклисты движутся в одном направлении

Относительная скорость (скорость сближения или удаления) равна разности скоростей: $v_{отн} = v_2 - v_1 = 16 - 14 = 2$ км/ч.

Вариант 1: Мотоциклисты сближаются.

Это возможно, если более быстрый мотоциклист ($v_2=16$ км/ч) находится позади более медленного ($v_1=14$ км/ч). Чтобы расстояние между ними сократилось с 7 км до 1 км, им нужно сблизиться на $S_{сбл} = S_0 - S_f = 7 - 1 = 6$ км. Время, необходимое для этого:

$t = \frac{S_{сбл}}{v_{отн}} = \frac{6}{2} = 3$ ч.

Вариант 2: Быстрый мотоциклист догоняет, обгоняет медленного и удаляется от него.

Сначала быстрый мотоциклист догоняет медленного (преодолевая 7 км), а затем опережает его на 1 км. Общее относительное расстояние, которое должен "пройти" быстрый мотоциклист относительно медленного, составляет $S_{общ} = S_0 + S_f = 7 + 1 = 8$ км. Время, необходимое для этого:

$t = \frac{S_{общ}}{v_{отн}} = \frac{8}{2} = 4$ ч.

Ответ: через 3 часа или через 4 часа.

б) мотоциклисты движутся в разных направлениях

Поскольку начальное расстояние 7 км, а конечное 1 км, значит, они должны двигаться навстречу друг другу. Если бы они двигались в противоположные стороны (удаляясь), расстояние бы только увеличивалось.

Скорость сближения равна сумме скоростей: $v_{отн} = v_1 + v_2 = 14 + 16 = 30$ км/ч.

Вариант 1: Мотоциклисты сближаются, но еще не встретились.

Чтобы расстояние сократилось с 7 км до 1 км, они должны вместе проехать $S_{сбл} = S_0 - S_f = 7 - 1 = 6$ км. Время для этого:

$t = \frac{S_{сбл}}{v_{отн}} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ ч, что равно $ \frac{1}{5} \cdot 60 = 12$ минут.

Вариант 2: Мотоциклисты встретились, разъехались и расстояние между ними стало 1 км.

Сначала они вместе проезжают 7 км до встречи, а затем еще 1 км, удаляясь друг от друга. Общее расстояние, которое они проехали относительно точки старта, составляет $S_{общ} = S_0 + S_f = 7 + 1 = 8$ км. Время для этого:

$t = \frac{S_{общ}}{v_{отн}} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$ ч, что равно $ \frac{4}{15} \cdot 60 = 16$ минут.

Ответ: через 12 минут или через 16 минут.