Номер 36.31, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.31. Запишите выражение в виде многочлена стандартного вида:

1)

$\frac{2x^2 - 3x + 3}{4};$

2)

$36x - \frac{x^2 + 4x + 5}{2};$

3)

$2\frac{1}{3}x - \frac{7 - 5x + 2x^3}{3};$

4)

$x^2 + 1 - \frac{x - 3}{4} + \frac{8x^2 - 3}{4}.$

1) Чтобы записать выражение $\frac{2x^2 - 3x + 3}{4}$ в виде многочлена стандартного вида, необходимо каждый член числителя разделить на знаменатель 4.

$\frac{2x^2 - 3x + 3}{4} = \frac{2x^2}{4} - \frac{3x}{4} + \frac{3}{4}$.

Упростим коэффициенты, сократив дробь $\frac{2}{4}$ на 2:

$\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}$.

Полученный многочлен записан в стандартном виде, так как его члены расположены в порядке убывания степеней переменной $x$.

Ответ: $\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}$.

2) Рассмотрим выражение $36x - \frac{x^2 + 4x + 5}{2}$.

Сначала представим дробь как многочлен, разделив каждый член числителя на 2. Так как перед дробью стоит знак минус, все члены многочлена, полученного из дроби, изменят свой знак на противоположный:

$36x - (\frac{x^2}{2} + \frac{4x}{2} + \frac{5}{2}) = 36x - \frac{1}{2}x^2 - 2x - \frac{5}{2}$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

$-\frac{1}{2}x^2 + (36x - 2x) - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 34x - \frac{5}{2}$.

Полученный многочлен записан в стандартном виде.

Ответ: $-\frac{1}{2}x^2 + 34x - \frac{5}{2}$.

3) Дано выражение $2\frac{1}{3}x - \frac{7 - 5x + 2x^3}{3}$.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

Выражение примет вид: $\frac{7}{3}x - \frac{7 - 5x + 2x^3}{3}$.

Раскроем вторую дробь как многочлен, учитывая знак минус перед ней:

$\frac{7}{3}x - (\frac{7}{3} - \frac{5x}{3} + \frac{2x^3}{3}) = \frac{7}{3}x - \frac{7}{3} + \frac{5x}{3} - \frac{2x^3}{3}$.

Приведем подобные члены и расположим их в порядке убывания степеней:

$-\frac{2}{3}x^3 + (\frac{7}{3}x + \frac{5}{3}x) - \frac{7}{3} = -\frac{2}{3}x^3 + \frac{12}{3}x - \frac{7}{3}$.

Упростим коэффициент при $x$:

$-\frac{2}{3}x^3 + 4x - \frac{7}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}x^3 + 4x - \frac{7}{3}$.

4) Рассмотрим выражение $x^2 + 1 - \frac{x - 3}{4} + \frac{8x^2 - 3}{4}$.

Так как у дробей одинаковый знаменатель, можно объединить их числители. Учтем знак минус перед первой дробью:

$x^2 + 1 + \frac{-(x - 3) + (8x^2 - 3)}{4} = x^2 + 1 + \frac{-x + 3 + 8x^2 - 3}{4}$.

Упростим числитель дроби:

$x^2 + 1 + \frac{8x^2 - x}{4}$.

Теперь разделим каждый член числителя на знаменатель:

$x^2 + 1 + \frac{8x^2}{4} - \frac{x}{4} = x^2 + 1 + 2x^2 - \frac{1}{4}x$.

Приведем подобные слагаемые и запишем многочлен в стандартном виде:

$(x^2 + 2x^2) - \frac{1}{4}x + 1 = 3x^2 - \frac{1}{4}x + 1$.

Ответ: $3x^2 - \frac{1}{4}x + 1$.