Номер 7, страница 218 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7. Выберите верное равенство:

A. $8t^3 + 1 = (2t - 1)(4t^2 + 2t + 1);$

B. $216a^3 - b^6 = (6a + b^2)(36a^2 - 6ab^2 - b^3);$

C. $27x^3 - 64y^3 = (3x - 4y)(9x^2 + 12xy + 16y^2);$

D. $\frac{8}{27}a^3 - \frac{1}{64}b^3 = \left(\frac{2}{3}a - \frac{1}{2}b\right)\left(\frac{4}{9}a^2 + \frac{1}{12}ab + \frac{1}{4}b^2\right).$

Для решения этой задачи необходимо проверить каждое из предложенных равенств, используя формулы сокращенного умножения, а именно формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ и формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

A. $8t³ + 1 = (2t - 1)(4t² + 2t + 1);$

Проверим левую часть. Выражение $8t^3 + 1$ является суммой кубов, так как $8t^3 = (2t)^3$ и $1 = 1^3$.

Применим формулу суммы кубов для $a=2t$ и $b=1$:

$8t^3 + 1 = (2t)^3 + 1^3 = (2t + 1)((2t)^2 - 2t \cdot 1 + 1^2) = (2t + 1)(4t^2 - 2t + 1)$.

В предложенном варианте правая часть $(2t - 1)(4t^2 + 2t + 1)$ является разложением разности кубов $(2t)^3 - 1^3 = 8t^3 - 1$.

Так как $8t^3 + 1 \neq 8t^3 - 1$, равенство неверно.

Ответ: равенство А неверно.

B. $216a³ – b⁶ = (6a + b²)(36a² - 6ab² - b³);$

Левая часть $216a^3 - b^6$ является разностью кубов, так как $216a^3 = (6a)^3$ и $b^6 = (b^2)^3$.

Применим формулу разности кубов для $x=6a$ и $y=b^2$:

$216a^3 - b^6 = (6a)^3 - (b^2)^3 = (6a - b^2)((6a)^2 + 6a \cdot b^2 + (b^2)^2) = (6a - b^2)(36a^2 + 6ab^2 + b^4)$.

Правая часть в предложенном варианте $(6a + b^2)(36a^2 - 6ab^2 - b^3)$ не совпадает с правильным разложением. Например, в первом множителе должен быть знак минус, а в последнем члене второго множителя степень $b$ должна быть 4, а не 3.

Ответ: равенство B неверно.

C. $27x³ – 64y³ = (3x – 4y)(9x² + 12xy + 16y²);$

Левая часть $27x^3 - 64y^3$ является разностью кубов, так как $27x^3 = (3x)^3$ и $64y^3 = (4y)^3$.

Применим формулу разности кубов для $a=3x$ и $b=4y$:

$27x^3 - 64y^3 = (3x)^3 - (4y)^3 = (3x - 4y)((3x)^2 + 3x \cdot 4y + (4y)^2) = (3x - 4y)(9x^2 + 12xy + 16y^2)$.

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью равенства в варианте С.

Ответ: равенство C верно.

D. $\frac{8}{27}a³ - \frac{1}{64}b³ = (\frac{2}{3}a - \frac{1}{2}b)(\frac{4}{9}a² + \frac{1}{12}ab + \frac{1}{4}b²).$

Левая часть $\frac{8}{27}a^3 - \frac{1}{64}b^3$ является разностью кубов, так как $\frac{8}{27}a^3 = (\frac{2}{3}a)^3$ и $\frac{1}{64}b^3 = (\frac{1}{4}b)^3$.

Применим формулу разности кубов для $x=\frac{2}{3}a$ и $y=\frac{1}{4}b$:

$(\frac{2}{3}a)^3 - (\frac{1}{4}b)^3 = (\frac{2}{3}a - \frac{1}{4}b)((\frac{2}{3}a)^2 + \frac{2}{3}a \cdot \frac{1}{4}b + (\frac{1}{4}b)^2) = (\frac{2}{3}a - \frac{1}{4}b)(\frac{4}{9}a^2 + \frac{2}{12}ab + \frac{1}{16}b^2) = (\frac{2}{3}a - \frac{1}{4}b)(\frac{4}{9}a^2 + \frac{1}{6}ab + \frac{1}{16}b^2)$.

В предложенном варианте первый множитель $(\frac{2}{3}a - \frac{1}{2}b)$ уже неверный, так как должно быть $(\frac{2}{3}a - \frac{1}{4}b)$. Также неверны и члены второго множителя.

Ответ: равенство D неверно.

Таким образом, единственное верное равенство представлено в варианте C.