Вопрос критерии успеха, страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Что такое алгебраическая дробь?

Алгебраическая дробь — это дробное выражение, которое представляет собой отношение двух многочленов. Его можно записать в виде дроби $\frac{P}{Q}$, где $P$ — числитель, а $Q$ — знаменатель.

Ключевые характеристики алгебраической дроби:

• Числитель и знаменатель: $P$ и $Q$ являются многочленами. Это могут быть числа, переменные или их комбинации в виде сумм, разностей и произведений. Например, в дроби $\frac{x^2 - 5x + 6}{x-3}$ числителем является многочлен $x^2 - 5x + 6$, а знаменателем — многочлен $x-3$.

• Обязательное условие: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, то есть $Q \neq 0$. Это приводит к понятию области допустимых значений.

Примеры алгебраических дробей:

• $\frac{a+b}{c}$

• $\frac{8}{y-5}$

• $\frac{x^2+y^2}{2xy}$

• Любой многочлен или число можно представить в виде алгебраической дроби со знаменателем 1, например, $x^2+4 = \frac{x^2+4}{1}$.

Область допустимых значений (ОДЗ)

Это множество всех значений переменных, при которых алгебраическая дробь имеет смысл (то есть её знаменатель не обращается в ноль). Чтобы найти ОДЗ, нужно решить уравнение $Q=0$ и исключить его корни из множества всех действительных чисел.

Пример: Найти ОДЗ дроби $\frac{x+1}{x^2-4}$.

Находим значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$x^2-4 = 0$

$(x-2)(x+2) = 0$

$x=2$ или $x=-2$.

Следовательно, ОДЗ данной дроби — это все числа, кроме $2$ и $-2$. Записывается как $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Основное свойство алгебраической дроби

Если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной в её ОДЗ.

$\frac{P}{Q} = \frac{P \cdot R}{Q \cdot R}$ , при $Q \neq 0$ и $R \neq 0$.

Это свойство используется для сокращения дробей и приведения их к общему знаменателю.

Пример сокращения:

$\frac{a^2-b^2}{a+b} = \frac{(a-b)(a+b)}{a+b} = a-b$ (при условии, что $a+b \neq 0$).

Действия с алгебраическими дробями

Выполняются по тем же правилам, что и с обыкновенными дробями:

• Сложение и вычитание: дроби приводятся к общему знаменателю, после чего их числители складываются или вычитаются.

  $\frac{A}{B} \pm \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D \pm C \cdot B}{B \cdot D}$

• Умножение: числитель первой дроби умножается на числитель второй, а знаменатель — на знаменатель.

  $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$

• Деление: первая дробь умножается на дробь, обратную второй (перевернутую).

  $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$

Ответ: Алгебраическая дробь — это выражение вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ (числитель) и $Q$ (знаменатель) — многочлены, и при этом многочлен $Q$ не может быть равен нулю.