Вопрос критерии успеха, страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как найти область допустимых значений переменных в алгебраической дроби?

Область допустимых значений (ОДЗ) переменных в алгебраической дроби – это множество всех значений переменных, при которых эта дробь имеет смысл. Алгебраическая дробь представляет собой выражение вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ – числитель, а $Q$ – знаменатель.

Основное правило

Главное и единственное ограничение для алгебраической дроби заключается в том, что ее знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль в математике не определено. Числитель дроби при этом может принимать любые значения.

Алгоритм нахождения ОДЗ

Чтобы найти область допустимых значений переменной для алгебраической дроби, нужно:

1. Выписать выражение, стоящее в знаменателе дроби.

2. Приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение. Корни этого уравнения – это значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль.

3. Исключить найденные значения из множества всех действительных чисел. Оставшееся множество и будет областью допустимых значений.

Пример 1

Найти ОДЗ для дроби $\frac{x+5}{3x-12}$.

Решение:

1. Знаменатель дроби: $3x-12$.

2. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$3x-12=0$

$3x=12$

$x=4$

3. При $x=4$ знаменатель дроби обращается в ноль. Следовательно, это значение необходимо исключить. Областью допустимых значений являются все числа, кроме 4.

Ответ: $x \neq 4$, или в виде интервала $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

Пример 2

Найти ОДЗ для дроби $\frac{y-2}{y^2-25}$.

Решение:

1. Знаменатель дроби: $y^2-25$.

2. Решим уравнение $y^2-25=0$:

$y^2=25$

$y_1 = 5$, $y_2 = -5$

3. Знаменатель равен нулю при $y=5$ и $y=-5$. Эти значения недопустимы.

Ответ: $y \neq 5$ и $y \neq -5$, или $y \in (-\infty; -5) \cup (-5; 5) \cup (5; +\infty)$.

Пример 3

Найти ОДЗ для дроби $\frac{a+b}{a(a-3)(a+4)}$.

Решение:

1. Знаменатель: $a(a-3)(a+4)$.

2. Знаменатель равен нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$a=0$ или $a-3=0$ или $a+4=0$.

Отсюда получаем $a=0$, $a=3$, $a=-4$.

3. Переменная $b$ может быть любой, так как она не влияет на знаменатель. Переменная $a$ не может принимать значения 0, 3, -4.

Ответ: $a \neq 0$, $a \neq 3$, $a \neq -4$.

Пример 4

Найти ОДЗ для дроби $\frac{z+10}{z^2+9}$.

Решение:

1. Знаменатель дроби: $z^2+9$.

2. Решим уравнение $z^2+9=0$:

$z^2 = -9$

3. Это уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($z^2 \ge 0$). Следовательно, $z^2+9$ всегда больше нуля (а точнее, $z^2+9 \ge 9$). Значит, нет таких значений $z$, которые бы обращали знаменатель в ноль.

Ответ: $z$ - любое действительное число, или $z \in (-\infty; +\infty)$.