Вопросы для закрепления, страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Верно ли, что:

— любое дробное выражение является рациональным выражением;

— любое рациональное выражение является дробным выражением;

— любое рациональное выражение является целым выражением;

— любое целое выражение является рациональным выражением;

— любая алгебраическая дробь является дробным выражением;

— любой многочлен является целым выражением?

2. Какие значения переменных рационального выражения могут быть недопустимыми?

1. — любое дробное выражение является рациональным выражением;

Данное утверждение верно. Все рациональные выражения делятся на два класса: целые выражения и дробные выражения. Дробные выражения — это те, которые содержат деление на переменную. Таким образом, любое дробное выражение по определению входит в более общее понятие рациональных выражений.

Ответ: Верно.

— любое рациональное выражение является дробным выражением;

Данное утверждение неверно. Рациональные выражения включают в себя также и целые выражения. Например, многочлен $x+5$ является рациональным выражением, так как его можно представить в виде дроби $\frac{x+5}{1}$, но он не является дробным, поскольку не содержит деления на переменную.

Ответ: Неверно.

— любое рациональное выражение является целым выражением;

Данное утверждение неверно. Рациональные выражения включают в себя и дробные выражения. Например, выражение $\frac{1}{x+2}$ является рациональным, но оно не является целым, так как содержит деление на переменную $x$.

Ответ: Неверно.

— любое целое выражение является рациональным выражением;

Данное утверждение верно. Целое выражение не содержит деления на переменную. Любое целое выражение $P$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $\frac{P}{1}$. Такое представление является отношением двух многочленов (где многочлен в знаменателе — константа 1), что соответствует определению рационального выражения.

Ответ: Верно.

— любая алгебраическая дробь является дробным выражением;

Данное утверждение неверно. Алгебраическая дробь — это выражение вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены. Дробным же выражением называют то, которое содержит деление именно на переменную. Если знаменатель $Q$ алгебраической дроби является числом, отличным от нуля (т.е. константой), то такая дробь является целым выражением. Например, $\frac{x^2+3}{2}$ — это алгебраическая дробь, но она является целым выражением (многочленом $\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}$), а не дробным.

Ответ: Неверно.

— любой многочлен является целым выражением?

Да, данное утверждение верно. По определению, целые выражения — это выражения, составленные из чисел и переменных с помощью операций сложения, вычитания и умножения. Многочлены полностью соответствуют этому определению, так как не содержат деления на переменную.

Ответ: Верно.

2. В рациональном выражении, которое представляет собой дробь $\frac{P}{Q}$ (где $P$ и $Q$ — многочлены), недопустимыми являются те значения переменных, при которых знаменатель $Q$ обращается в ноль. Это происходит потому, что операция деления на ноль в математике не определена.

Следовательно, чтобы найти недопустимые значения переменных, необходимо приравнять знаменатель рационального выражения к нулю и решить полученное уравнение. Корни этого уравнения и будут недопустимыми значениями.

Например, для выражения $\frac{x+8}{x^2-9}$ знаменатель равен $x^2-9$. Найдём значения $x$, при которых знаменатель равен нулю: $x^2-9=0$, что равносильно $(x-3)(x+3)=0$. Корнями уравнения являются $x=3$ и $x=-3$. Таким образом, $3$ и $-3$ — это недопустимые значения для данной дроби.

Ответ: Недопустимыми являются те значения переменных, которые обращают знаменатель рационального выражения в ноль.