Номер 15, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15. Преобразуйте выражение $(5x - 2)(x + 1) - (5 - 2x)^2$ в многочлен стандартного вида:

A. $x^2 + 23x - 27;$

B. $9x^2 + 23x - 27;$

C. $9x^2 - 27x - 27;$

D. $x^2 + 23x + 27.$

Чтобы преобразовать выражение $(5x - 2)(x + 1) - (5 - 2x)^2$ в многочлен стандартного вида, необходимо последовательно выполнить алгебраические операции: раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

1. Раскроем первую часть выражения — произведение двух многочленов $(5x - 2)(x + 1)$. Для этого умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(5x - 2)(x + 1) = 5x \cdot x + 5x \cdot 1 - 2 \cdot x - 2 \cdot 1 = 5x^2 + 5x - 2x - 2$.

Приведем подобные слагаемые: $5x^2 + (5x - 2x) - 2 = 5x^2 + 3x - 2$.

2. Раскроем вторую часть выражения — квадрат разности $(5 - 2x)^2$. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=5$ и $b=2x$:

$(5 - 2x)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2x + (2x)^2 = 25 - 20x + 4x^2$.

3. Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:

$(5x^2 + 3x - 2) - (25 - 20x + 4x^2)$.

4. Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак "минус", знаки всех членов внутри этой скобки изменятся на противоположные:

$5x^2 + 3x - 2 - 25 + 20x - 4x^2$.

5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(5x^2 - 4x^2) + (3x + 20x) + (-2 - 25) = x^2 + 23x - 27$.

Таким образом, многочлен в стандартном виде имеет вид $x^2 + 23x - 27$. Сравнивая результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом А.

Ответ: A. $x^2 + 23x - 27$.