Номер 16, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16. Разложите выражение $2x + y + y^2 - 4x^2$ на множители:

A. $(2x + y)(y - 2x)$;

B. $(2x + y)(1 + y - 2x)$;

C. $(y + 2x)(y - 2x - 1)$;

D. $(y + 2x)(2x - y - 1)$.

Чтобы разложить на множители выражение $2x + y + y^2 - 4x^2$, необходимо перегруппировать его члены таким образом, чтобы можно было применить формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки.

Исходное выражение: $2x + y + y^2 - 4x^2$.

Переставим слагаемые местами, чтобы сгруппировать $y^2$ и $-4x^2$, а также $2x$ и $y$:

$(y^2 - 4x^2) + (2x + y)$

Выражение в первых скобках, $(y^2 - 4x^2)$, является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=y$ и $b=2x$:

$y^2 - 4x^2 = y^2 - (2x)^2 = (y - 2x)(y + 2x)$

Теперь подставим полученное разложение обратно в наше сгруппированное выражение:

$(y - 2x)(y + 2x) + (2x + y)$

Мы видим, что $(y + 2x)$ является общим множителем для обоих слагаемых (поскольку от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $(2x + y)$ это то же самое, что и $(y + 2x)$). Вынесем этот общий множитель за скобки:

$(y + 2x)((y - 2x) + 1)$

Теперь упростим выражение во второй скобке, убрав внутренние скобки:

$(y + 2x)(y - 2x + 1)$

Сравним полученный результат с предложенными вариантами. Наш результат $(y + 2x)(y - 2x + 1)$ полностью совпадает с вариантом B: $(2x + y)(1 + y - 2x)$, так как от перемены мест множителей в произведении и слагаемых в сумме результат не изменяется.

Ответ: B. (2x + y)(1 + y - 2x)