Номер 5, страница 40 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 11. Основные понятия. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными - номер 5, страница 40.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи необходимо проанализировать, как количество решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными зависит от коэффициентов в этих уравнениях. Графически система уравнений вида$ \begin{cases} y = k_1x + b_1 \\ y = k_2x + b_2 \end{cases}$описывает две прямые на координатной плоскости. Количество решений системы соответствует количеству точек пересечения этих прямых.

1. Система не имеет решений, если прямые параллельны и не совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны, а свободные члены — различны: $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$.

2. Система имеет единственное решение, если прямые пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны: $k_1 \neq k_2$.

3. Система имеет бесконечное множество решений, если прямые совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты и свободные члены равны: $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$.

Теперь применим эти правила к заданным системам.

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} y = 3x - 5 \\ y = kx + 4 \end{cases} $ Здесь коэффициенты первого уравнения $k_1 = 3$ и $b_1 = -5$. Коэффициенты второго уравнения $k_2 = k$ и $b_2 = 4$.

- Не имеет решений: Условие $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$. Подставляем значения: $k = 3$. Проверяем второе условие: $-5 \neq 4$, оно выполняется. Следовательно, при $k=3$ система не имеет решений. Это значение уже указано в таблице.

- Имеет единственное решение: Условие $k_1 \neq k_2$. Подставляем значения: $k \neq 3$. Система будет иметь единственное решение при любом значении $k$, не равном 3. В таблице приведен пример $k=5$, что является верным.

- Имеет бесконечное множество решений: Условие $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$. Подставляем значения: $k = 3$ и $-5 = 4$. Второе равенство является ложным. Следовательно, не существует такого значения $k$, при котором система имела бы бесконечное множество решений. В таблице верно указано "нет".

Ответ: система не имеет решений при $k=3$; имеет единственное решение при $k \neq 3$ (например, $k=5$); не существует значения $k$, при котором система имеет бесконечное множество решений.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2y = 3x - 2 \\ y = 1,5x + k \end{cases} $ Сначала приведем первое уравнение к стандартному виду $y = mx + c$, разделив обе его части на 2: $y = \frac{3}{2}x - \frac{2}{2}$, что равносильно $y = 1,5x - 1$. Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} y = 1,5x - 1 \\ y = 1,5x + k \end{cases} $ Здесь коэффициенты: $k_1 = 1,5$, $b_1 = -1$, $k_2 = 1,5$, $b_2 = k$.

Обратим внимание, что угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$ всегда равны ($1,5 = 1,5$). Это означает, что прямые всегда параллельны или совпадают, и система никогда не может иметь единственное решение.

- Не имеет решений: Условие $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$. Угловые коэффициенты уже равны. Требуется, чтобы свободные члены были различны: $b_1 \neq b_2$, то есть $-1 \neq k$. Таким образом, система не имеет решений при любом значении $k$, кроме $-1$. В качестве примера можно выбрать $k=0$.

- Имеет единственное решение: Условие $k_1 \neq k_2$. Подставляем значения: $1,5 \neq 1,5$. Это утверждение ложно. Следовательно, не существует такого значения $k$, при котором система имела бы единственное решение.

- Имеет бесконечное множество решений: Условие $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$. Угловые коэффициенты равны. Требуется, чтобы свободные члены были равны: $b_1 = b_2$, то есть $-1 = k$. Система имеет бесконечное множество решений при $k = -1$.

Ответ: система не имеет решений при $k \neq -1$ (например, $k=0$); не существует значения $k$, при котором система имеет единственное решение; система имеет бесконечное множество решений при $k=-1$.