Номер 7, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 11. Основные понятия. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными - номер 7, страница 41.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 1 \\ x + 3y = 9 \end{cases}$

Для того чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Оба уравнения являются линейными, следовательно, их графики — это прямые линии. Для построения прямой достаточно знать координаты двух точек.

1. Построим график уравнения $x - y = 1$.

Для удобства построения выразим $y$ через $x$: $y = x - 1$.

Найдем координаты двух точек, принадлежащих этой прямой, используя значения из таблицы в условии задачи.

Если $x=0$, то $y = 0 - 1 = -1$. Получаем точку (0; -1).

Если $x=2$, то $y = 2 - 1 = 1$. Получаем точку (2; 1).

Таблица значений для $x - y = 1$:

x	0	2
y	-1	1

2. Построим график уравнения $x + 3y = 9$.

Выразим $y$ через $x$: $3y = 9 - x$, откуда $y = -\frac{1}{3}x + 3$.

Найдем координаты двух точек, используя значения из таблицы в условии задачи.

Если $x=0$, то $0 + 3y = 9$, откуда $y=3$. Получаем точку (0; 3).

Если $x=3$, то $3 + 3y = 9$, откуда $3y=6$ и $y=2$. Получаем точку (3; 2).

Таблица значений для $x + 3y = 9$:

x	0	3
y	3	2

Теперь построим обе прямые на координатной плоскости. Прямая $y=x-1$ проходит через точки (0; -1) и (2; 1). Прямая $y = -\frac{1}{3}x + 3$ проходит через точки (0; 3) и (3; 2). Точка пересечения этих двух прямых и будет решением системы. По графику видно, что прямые пересекаются в точке с координатами (3; 2).

Ответ: (3; 2)

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = x - 1 \\ y = -\frac{1}{3}x + 3 \end{cases}$

Для графического решения построим графики обеих функций в одной системе координат. Координаты точки пересечения графиков будут являться решением системы.

1. Построим график функции $y = x - 1$.

Найдем координаты двух точек:

Если $x = 0$, то $y = 0 - 1 = -1$. Точка (0; -1).

Если $x = 2$, то $y = 2 - 1 = 1$. Точка (2; 1).

Заполним таблицу значений:

x	0	2
y	-1	1

2. Построим график функции $y = -\frac{1}{3}x + 3$.

Найдем координаты двух точек. Для удобства вычислений будем выбирать значения $x$, кратные 3.

Если $x = 0$, то $y = -\frac{1}{3}(0) + 3 = 3$. Точка (0; 3).

Если $x = 3$, то $y = -\frac{1}{3}(3) + 3 = -1 + 3 = 2$. Точка (3; 2).

Заполним таблицу значений:

x	0	3
y	3	2

Построив прямые по найденным точкам, находим их точку пересечения. Графики пересекаются в точке с координатами (3; 2).

Сделаем проверку, подставив координаты точки (3; 2) в оба уравнения системы:

Для $y = x - 1$: $2 = 3 - 1 \implies 2=2$. Равенство верное.

Для $y = -\frac{1}{3}x + 3$: $2 = -\frac{1}{3}(3) + 3 \implies 2 = -1 + 3 \implies 2=2$. Равенство верное.

Следовательно, решение найдено верно.

Ответ: (3; 2)