Номер 5, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 12. Метод подстановки. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными - номер 5, страница 45.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) 7x + 4y = 23 и 8x - 10y = 19

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков, не выполняя построений, необходимо решить систему уравнений, так как координаты точки пересечения являются решением системы.

$ \begin{cases} 7x + 4y = 23, \\ 8x - 10y = 19. \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Выразим переменную y из первого уравнения:

$4y = 23 - 7x$

$y = \frac{23 - 7x}{4}$

$y = \frac{23}{4} - \frac{7}{4}x$

Теперь подставим полученное выражение для y во второе уравнение системы:

$8x - 10(\frac{23}{4} - \frac{7}{4}x) = 19$

Решим полученное уравнение относительно x. Раскроем скобки:

$8x - \frac{10 \cdot 23}{4} + \frac{10 \cdot 7x}{4} = 19$

$8x - \frac{230}{4} + \frac{70x}{4} = 19$

Сократим дроби:

$8x - \frac{115}{2} + \frac{35x}{2} = 19$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot 8x - 2 \cdot \frac{115}{2} + 2 \cdot \frac{35x}{2} = 2 \cdot 19$

$16x - 115 + 35x = 38$

Приведем подобные слагаемые:

$51x = 38 + 115$

$51x = 153$

$x = \frac{153}{51}$

$x = 3$

Теперь найдем соответствующее значение y, подставив $x = 3$ в выражение для y:

$y = \frac{23}{4} - \frac{7}{4} \cdot 3 = \frac{23}{4} - \frac{21}{4} = \frac{23 - 21}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Таким образом, координаты точки пересечения графиков - $(3; \frac{1}{2})$.

Ответ: $(3; 0,5)$.

б) 11x - 6y = 2 и -8x + 5y = 3

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 11x - 6y = 2, \\ -8x + 5y = 3. \end{cases} $

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим первое уравнение на 5, а второе на 6, чтобы коэффициенты при y стали противоположными числами (-30 и 30).

$ \begin{cases} 5(11x - 6y) = 5 \cdot 2, \\ 6(-8x + 5y) = 6 \cdot 3. \end{cases} $

$ \begin{cases} 55x - 30y = 10, \\ -48x + 30y = 18. \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения системы почленно:

$(55x - 30y) + (-48x + 30y) = 10 + 18$

$55x - 48x = 28$

$7x = 28$

$x = \frac{28}{7}$

$x = 4$

Подставим найденное значение $x = 4$ в любое из исходных уравнений, например, во второе, чтобы найти y:

$-8(4) + 5y = 3$

$-32 + 5y = 3$

$5y = 3 + 32$

$5y = 35$

$y = \frac{35}{5}$

$y = 7$

Координаты точки пересечения графиков - $(4; 7)$.

Ответ: $(4; 7)$.