Номер 10, страница 67 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 18. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями. Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства - номер 10, страница 67.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $0,25^{40} \cdot 4^{42}$
Сначала представим десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной дроби: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
Тогда выражение примет вид: $(\frac{1}{4})^{40} \cdot 4^{42}$.
Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, получаем: $\frac{1^{40}}{4^{40}} \cdot 4^{42} = \frac{1}{4^{40}} \cdot 4^{42} = \frac{4^{42}}{4^{40}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $):
$4^{42-40} = 4^2 = 16$.
Ответ: $16$.

б) $2^{100} \cdot (\frac{1}{2})^{103}$
Представим дробь $(\frac{1}{2})$ как $2^{-1}$. Тогда выражение будет: $2^{100} \cdot (2^{-1})^{103}$.
При возведении степени в степень показатели перемножаются ($ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $): $2^{100} \cdot 2^{-1 \cdot 103} = 2^{100} \cdot 2^{-103}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $):
$2^{100 + (-103)} = 2^{100 - 103} = 2^{-3}$.
Степень с отрицательным показателем равна единице, деленной на степень с положительным показателем ($ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $):
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

в) $(\frac{3}{4})^{50} \cdot (\frac{4}{3})^{49}$
Чтобы привести множители к одному основанию, воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$.
Преобразуем второй множитель: $(\frac{4}{3})^{49} = (\frac{3}{4})^{-49}$.
Теперь выражение выглядит так: $(\frac{3}{4})^{50} \cdot (\frac{3}{4})^{-49}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$(\frac{3}{4})^{50 + (-49)} = (\frac{3}{4})^{50-49} = (\frac{3}{4})^1 = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

г) $\frac{(3^3)^2 \cdot 27}{81^2}$
Для решения представим числа $27$ и $81$ в виде степеней с основанием $3$:
$27 = 3^3$
$81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{(3^3)^2 \cdot 3^3}{(3^4)^2}$
Применим свойство возведения степени в степень ($ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $):
$\frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^3}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6 \cdot 3^3}{3^8}$
В числителе сложим показатели степеней с одинаковым основанием ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $):
$\frac{3^{6+3}}{3^8} = \frac{3^9}{3^8}$
При делении степеней вычтем показатели ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $):
$3^{9-8} = 3^1 = 3$.
Ответ: $3$.