Номер 6, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 18. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями. Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства - номер 6, страница 65.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y^? \cdot y^2 = y^{12}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Это свойство степени выражается формулой $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Пусть неизвестный показатель степени равен $x$. Тогда получим уравнение:

$x + 2 = 12$

Решим это уравнение:

$x = 12 - 2$

$x = 10$

Таким образом, недостающий показатель степени равен 10. Исходное равенство выглядит так: $y^{10} \cdot y^2 = y^{12}$.

Ответ: $y^{\mathbf{10}} \cdot y^2 = y^{12}$

б) $(\frac{a}{b})^? = \frac{a^5}{b^?}$

При возведении дроби в степень в эту степень возводится и числитель, и знаменатель. Это свойство выражается формулой $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

В правой части равенства мы видим, что числитель $a$ возведен в 5-ю степень. Это означает, что вся дробь была возведена в 5-ю степень. Следовательно, и знаменатель $b$ должен быть возведен в ту же степень.

Первый недостающий показатель равен 5. Второй недостающий показатель также равен 5. Исходное равенство выглядит так: $(\frac{a}{b})^5 = \frac{a^5}{b^5}$.

Ответ: $(\frac{a}{b})^{\mathbf{5}} = \frac{a^5}{b^{\mathbf{5}}}$

в) $(ab)^? = a^? b^m$

При возведении произведения в степень в эту степень возводится каждый множитель. Это свойство выражается формулой $(ab)^n = a^n b^n$.

В правой части равенства мы видим, что множитель $b$ возведен в степень $m$. Это означает, что все произведение $(ab)$ было возведено в степень $m$. Следовательно, и множитель $a$ должен быть возведен в ту же степень $m$.

Оба недостающих показателя равны $m$. Исходное равенство выглядит так: $(ab)^m = a^m b^m$.

Ответ: $(ab)^{\mathbf{m}} = a^{\mathbf{m}}b^m$

г) $\frac{x^?}{y^7} = (\frac{x}{y})^?$

Это равенство использует то же свойство, что и в пункте б), но в обратном порядке: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$. Чтобы это правило было применимо, показатели степени у числителя и знаменателя должны быть одинаковыми.

Поскольку в знаменателе левой части стоит $y^7$, то и показатель степени у числителя $x$ должен быть равен 7. Тогда вся дробь будет в 7-й степени.

Оба недостающих показателя равны 7. Исходное равенство выглядит так: $\frac{x^7}{y^7} = (\frac{x}{y})^7$.

Ответ: $\frac{x^{\mathbf{7}}}{y^7} = (\frac{x}{y})^{\mathbf{7}}$

д) $(2m)^? = 16m^?$

Используем свойство возведения произведения в степень: $(ab)^n = a^n b^n$. В данном случае $a=2$, $b=m$.

Пусть неизвестный показатель степени равен $x$. Тогда $(2m)^x = 2^x \cdot m^x$.

Сравнивая это с правой частью равенства $16m^?$, мы видим, что $2^x$ должно быть равно 16.

Найдем $x$ из уравнения $2^x = 16$. Так как $2^4 = 16$, то $x=4$.

Следовательно, оба недостающих показателя равны 4. Исходное равенство выглядит так: $(2m)^4 = 16m^4$.

Ответ: $(2m)^{\mathbf{4}} = 16m^{\mathbf{4}}$

е) $(10z)^? = 1000z^?$

Используем свойство возведения произведения в степень: $(ab)^n = a^n b^n$. В данном случае $a=10$, $b=z$.

Пусть неизвестный показатель степени равен $x$. Тогда $(10z)^x = 10^x \cdot z^x$.

Сравнивая это с правой частью равенства $1000z^?$, мы видим, что $10^x$ должно быть равно 1000.

Найдем $x$ из уравнения $10^x = 1000$. Так как $10^3 = 1000$, то $x=3$.

Следовательно, оба недостающих показателя равны 3. Исходное равенство выглядит так: $(10z)^3 = 1000z^3$.

Ответ: $(10z)^{\mathbf{3}} = 1000z^{\mathbf{3}}$